初中数学论文：浅谈数形结合思想在初中数学解题中的应用.doc

初中数学论文：浅谈数形结合思想在初中数学解题中的应用 【摘 要】本文揭示了数形结合思想在初中数学实数、应用题、方程、不等式、函数、三角函数、统计初步、几何内容中的应用。 “数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。下面，我就谈一谈数形结合思想在初中数学解题中的具体应用。 一、在实数中的应用 例1【2009·广东深圳】如图，数轴上与1、对应的点分别为a、b，点b关于点a的对称点为c，设点c表示的数为x,则=（ ） a.b.c.d.2 数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。因此，两个实数大小的比较，是通过这两个实数在数轴上的对应的位置关系进行的。首先，根据x在数轴上的位置，确定()的正负性，然后由绝对值意义化简，再由对称性确定x的值代入计算。 c 二、在方程（组）中的应用 例2【2007·内江市】小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（） a）106cm （b）110cm （c）114cm （d）116cm 由图可知，欲求把100个纸杯整齐叠放在一起时的高度，需先求出一个纸杯的高度，及叠放时每增加一个纸杯所增加的高度．两个未知量，故可用构造二元一次方程组模型解之。 cm，叠放时每增加一个纸杯高度增加cm，根据图中的信息，得: 解这个方程组，得 所以100个纸杯的高度是7＋1×（100－1）=106（cm）。故选（a）。 例3【2009·四川成都】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。 在解一元一次不等式组时，为了加深初一学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。 3x-12(x+1)，得x3 ∴原不等式组的解集为 在数轴上表示其解集为 四、在函数中的应用 例4 在周长400米且两端为半圆的跑道上，要使矩形内部操场的面积为 解析 函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求在自变量取值范围内函数的最值问题。通过建立函数模型，运用函数的思想方法分析问题，解决问题。 ab=x米，则矩形面积为y米2 ∵∴ 五、在三角函数中的应用 例5【2010·山东省莱芜市】2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的a处时，仪器显示正前方一高楼顶部b的仰角是37°，底部c的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升0.1米） ） 解析 首先把实际问题转化为数学模型，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，运用已有知识进行解答。过a作ad⊥cb，构造直角三角形，分别在两个直角三角形中利用三角函数进行求解。 a作ad⊥cb，垂足为点d在rt△adc中，∵cd=36，∠cad=60° ad=≈20.76 在rt△adb中，∵ad≈20.76，∠bad=37° bd=≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米） 15.6米。 例6【上 （1）该单位职工共有多少人？ 2）不小于38岁但小于44对的职工人数占总人数的百分比是多少？ 3）如果42岁的职工有4人，那么年龄在42岁以上的职工有几人？ 在统计初步中，一组数据，反映在坐标平面上就是一群离散点。研究一组数据的集中趋势，相当于考察这群离散点的分布状态，而研究一组数据的波动大小，就相当于考察坐标平面上这群离散点的分布规律，这里融入了数形结合的思想方法。 1）该单位职50人 2）不小于38岁但小于44岁的职工人数占总人数的60% 3）年龄在42岁以上的职工有15人 例7【天津】一小船由a港到b港顺流航行需6小时，由b港到a港逆流航行需8小时。一天，小船从早晨6点由a港出发顺流航行到b港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，一小时后找到救生圈。 1）若小船按水流速度由a港漂流到b港需要多少小时？ 2）救生圈是在何时掉入水中的。 列解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的 （1）答：小船按水流速度由a港漂流到b港需用48小时。 2）如图，设救生圈是在上午x点钟落入水中c点的。当小船由c点顺流行驶到b港时，救生圈由c点顺流漂到d点；当小船由b港用1小时逆流行驶到e点找到救圈时，救生圈同时用1小时由d点顺流漂到了e点。于是 cb=×（12-x）,cd=×(12-x), be=×1,de=×1 db=bd∴cb-cd=