勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别.doc

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别 摘 要 本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。 关键词：勒贝格可 黎曼可积 勒贝格积分 黎曼积分 1、定义 1.1黎曼积分定义 设在上有定义 分割分划，将添加n-1个分点T：将分成n个小区间 取近似 取极限令—T的细度，若存在 1.2勒贝格积分定义 设在有限可测集E上有界 为E的n个互相不相交的可测子集且称为E的一个L-分划 设，均为E的一个L-分划，若对存在称细（的加细） 设为E的一个L-分划，称 在划分D下的小和 在划分D下的大和 2黎曼积分和勒贝格积分的联系 对于定义在上的函数，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分，黎曼积分是作为广义积分来定义的，这时要求是单调增加的可测集合列，其并为E，若极限存在，则在E上勒贝格可积，且有= 当是矩体且在每个上都是有界连续函数，同时满足时，可以通过计算黎曼积分而得到勒贝格积分= 而且计算方法与的选择没有关系，只需保证单调增加到并集E。 例1：设是区间上的有界单调函数，的不连续点至多是可列集，因此在上是几乎处处连续的，又因为在上是有界的，在上是黎曼可积的，所以也是勒贝格可积。 但是，必须指出，具有广义黎曼积分的函数并不一定勒贝格可积。 例2：设=，在数分中，在上的广义黎曼积分收敛的，但不是绝对收敛的而在上不是勒贝格可积的 平时我们在解勒贝格积分时，有很多可以先化为求黎曼积分，下面我们看看几个例子。 例3：计算=在上的积分 解：用截断函数求解 是上的非负函数，作截函数 显然，对每个均黎曼可积，故也勒贝格可积 = = 于是= = = 例4：设，E上函数 [1] 求 解：作截断函数 取，由于在上黎曼可积，故 = =2 =3- = = =3 勒贝格积分是黎曼积分的推广与发展,是一种新型积分理论。相对于黎曼积分而言,勒贝格积分处理一些问题是相当灵活与自然的，上面的例题就充分的说明了这点。 3勒贝格积分与黎曼积分的区别 黎曼积分相对勒贝格积分有明显的局限性。勒贝格积分比黎曼积分有明显的优势，它将可积函数类拓广为有界可测函数。勒贝格积分的可积范围比黎曼积分广泛，比如：上的连续函数黎曼可积，也勒贝格可积，此外，还有非黎曼可积，但勒贝格可积的例子有很多，如上的狄立克莱函数 [2] 就是黎曼不可积，但是勒贝格可积。 勒贝格积分包含了黎曼积分，这样的结论：在上黎曼可积，则有勒贝格可积，且积分值相同。 在数分中,经常遇到的一个重要问题是两种极限过程的交换次序问题,尤其是积分与函数列的极限的交换问题在那里，一般都是用函数列一致收敛的条件来保证极限运算与积分运算的次序可以交换但是，“一致收敛”这个条件是过于苛刻了,这也暴露出黎曼积分定义的缺陷。 其实黎曼积分与勒贝格积分大体上是相似的，仅从分割函数的定义域的角度来说，其区别在于黎曼积分所考虑的分划（如定义），只是把原来的区间分解成有限多个小区间，而勒贝格积分的分划则是把分成有限多个互不相交的可测子集，由定义对比可知，前者的分划必是后者的分划，所以黎曼意义下的大、小和必是勒贝格意义下的大、小和，故得到相同的积分值。 因为勒贝格积分相对黎曼积分的优越性，所以平时我们运用勒贝格积分解决黎曼积分中较难的问题。 例5：计算黎曼函数 的积分 [3]。 这个函数在所有无理点处事连续的，在有理点是不连续的，虽然在中有无穷多个有理点，即黎曼函数在上的不连续点有无穷多个，但这个函数在仍然是黎曼可积的，且有，但是用黎曼积分方法来求其积分值比较复杂，然而用勒贝格积分的方法来求积分值就显然十分简单了。 解：由是黎曼可积几乎处处连续，所以令，，则 = =0+