勾股定理培优.doc

学科：数学 ? 教学内容：勾股定理 ? ? 知识精点 1．勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．勾股定理表达形式： 条件：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c． 结论：． 3．勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）在数轴上作出表示（n为正整数）的点． 重、难、疑点 重点：（1）掌握勾股定理，会利用拼图验证勾股定理； （2）会利用勾股定理解决一些实际问题． 难点：勾股定理的灵活应用， 疑点：勾股定理的作用及变形公式的运用． ? 典例精讲 例1 已知：一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，求第三边的长． 方法指导：因为题目没有明确这两边中有无斜边，故应分类讨论，然后再用勾股定理计算第三边． 解：设第三边长为xcm， 当x为斜边长时，由勾股定理得：，∴x=5cm． 当4为斜边长时，由勾股定理得：，，∴． 方法总结：在利用勾股定理时一定要分清斜边和直角边，若题目没有明确指出，则需分类讨论，避免漏解． 举一反三 以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为和，求第三个正方形的面积． 解：或． ? 例2 直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原来的（ ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．不变 方法指导：可设两直角边长分别为a、b，斜边长为c，用代数式可清楚地反映它们之间的变化规律． 解：设两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则变化后两直角边长分别为2a、2b，由勾股定理得：． 那么． 由此知斜边也扩大到原来的2倍．故应选A． 方法总结：由本例知直角三角形三边同时扩大相同的倍数后仍是直角三角形． 举一反三 直角三角形三边都增加相同的长度所得三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解：A ? 例3 如图，铁路上A、B两地相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站距离相等，则E站应建在距A地多少km处？ 方法指导：此题中的E可看作动点．当E在AB间移动时，在某处使得DE=CE．此点惟一，而AE+BE为定值25．故可利用这一关系建立方程． 解：设AE=x，则BE=25—x． 在Rt△ADE中，， 在Rt△CBE中，， 又DE=CE， ∴， 即， 解得x=10（km）． 故E站应建在距A地10km处． 方法总结：对确定点的位置这一类型题．先假定此点找到，再依据需满足的关系建立方程求解是解此类题常用方法． 举一反三 如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD． 解：设DC=x，则BD=14—x， 在Rt△ADB中，由勾股定理得： ， 在Rt△ADC中，由勾股定理得： ． ∴． 解得：x=5． ∴ =144． ∴AD=12． ? 例4 如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，BC=5cm，DC=4cm，求△ABC的面积． 方法指导：在Rt△ABC中，已知BC、DC，可直接用勾股定理求出BD的长，但要求就需计算AD的长．求AD取决于AC．而AC在两个直角三角形中，故可联立关于AC的表达式从而求出AD． 解：设AD=xcm，AC=ycm． 在Rt△BCD中， ． ∴BD=3cm． 在Rt△ACD中，， 在Rt△ABC中，， ∴． 整理得：． ∴． 方法总结：联立方程组其实质是寻找中间量． 举一反三 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，CD⊥AB于D，求CD的长． 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴． ∴AB=10． 又， ∴AB·CD=BC·AC． 即． ∴CD=4.8（cm）． ? 例5 一个直角三角形的三边为连续自然数，求这个直角三角形的三边长． 方法指导：根据三边长为连续自然数，可设中间数为n，则其余两数分别为（n—1）和（n+1），再根据勾股定理列方程求解． 解：设中间数为n，则其余两数分别为（n—1）和（n+1）． ∵这三个数为直角三角形的三边长， ∴由勾股定理得：． ∴． 化简得：，∵n0， ∴n=4，∴直角三角形的三边长分别为：3、4、5． 方法总结：本题主要考察未知数的设法以及勾股定理的应用． 举一反三 一个直角三形的三边长为连续偶数，求这个直角三角形的三边长． 解：设中间数为2n，则其余两数分别为2（n—1）和2（n+1）． 由勾股定理得：． ∴． 化简得：，∵n0， ∴n=4． ∴直角三角形的三边长分别为：6、8、10． ? 例6 如图所示，正方形ABCD边长为1，以AE为折痕，使AD落在AC上，D与F重合．求：DE的