北京交通大学《复变函数和积分变换》期末试卷及其答案.doc

北 京 交 通 大 学 2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B） 学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 阅卷人 一．（本题30分，其每小题各3分） 方程（t为实参数）给出的曲线是 ； 复数的指数形式是 ； 函数，z=0为 级极点，为 级极点； 计算 ； 若，则其收敛半径 ； 计算留数： ； 函数在可微的充要条件为 ； 曲线在映射下的像是 ； C为以a为圆心，r为半径的圆周，计算（n为正整数） ； 判断的敛散性 . 二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分其中积分路径C为： ①连接由原点到1+i的直线段； ②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i的直线段所组成的折线. (2)、已知：求： (3)、计算 （4）、计算，其中。 （5）计算. 三、求积分（7分） 四、求解析函数，已知 ，且. （7分） 五、验证在右半z平面内满足Laplace方程，即；其中， 并求以此为虚部的解析函数.（8分） 六、（8分）求函数分别在如下区域展成洛朗展式 （1） （2）01. 七、求实轴在映射下的象曲线（8分） 八、求函数的傅立叶变换（7分） 一、(1)直线y=x (2) (3)一;二 (4) (5)2 (6) (7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微 ②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即. (8)x=-y (9) (10发散 二、(1) ①连接原点到点1+i的直线段的参数方程为： z=(1+i)t 故 = = = ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t , 连接由点1到点1+i的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t , 即 z=1+it , 故 = = = (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。 将被积函数展为罗朗级数 ， 后面那个分式在z=0为解析，故可展为z的幂级数： （其中及以下各项不需关心） 于是在z=0的去心邻域内有 由此即得 故由留数定理，原积分等于i. (3)因为在积分区域内解析，在边界连续， 故由柯西积分定理 原积分等于0。 (4)因为z=-i在积分区域内， 所以 原积分= = (5)在单位圆周内，函数只有一个本性奇点z=0.在该点的去心邻域内有罗朗展式 于是 故由留数定理 原积分等于. 三、函数在内有两个奇点：z=0,1.由复合闭路定理有 = 四、由C.-R.条件中的一个得 再由C.-R.条件中的另一个得 故 因此 故 要满足 f(i)=0,必C=1，故f(z)=. 五、解： (x0) 于是 故在右半z平面内，v(x,y)是调和函数。 = 两端对y求导 所以 故 六、由题可知被积函数在z平面内只有两个奇点z=1及z=2. 则 (1) 在去心邻域 内 = = (2) 在去心邻域01内 =. 七、在实轴上取三点，则对应的三个象点为.由此得到象曲线为进一步还可得到，上半平面被映射到圆的内部，而下半平面被映射到圆的外部。 八、由题意知 所求函数的傅立叶变换等于 第 1 页 共 8 页