双曲线及标准方程典型例题.doc

典型例题一 例1　讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于，，则的取值范围为，，，分别进行讨论． 解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）． （3），，时，所给方程没有轨迹． 说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感． 典型例题二 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点，且焦点在坐标轴上． （2），经过点（－5，2），焦点在轴上． （3）与双曲线有相同焦点，且经过点 解：（1）设双曲线方程为 ∵ 、两点在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线方程为 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在轴上，， ∴设所求双曲线方程为：（其中） ∵双曲线经过点（－5，2），∴ ∴或（舍去） ∴所求双曲线方程是 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ∵双曲线过点，∴ ∴或（舍） ∴所求双曲线方程为 说明：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小． 分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点在双曲线的左支上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索． 典型例题四 例4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积． 分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积． 解：∵为双曲线上的一个点且、为焦点． ∴, ∵ ∴在中， ∵ ∴ ∴ ∴ 说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用． 典型例题五 例5　已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵， ∴ ∴所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算． （2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解． 典型例题六 例6　在中，，且，求点的轨迹． 分析：要求点的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？ 解：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，． 设，由及正弦定理可得： ∵ ∴点在以、为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为： ∴， ∴， ∴ ∴所求双曲线方程为 ∵ ∴ ∴点的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分 典型例题七 例7　求下列动圆圆心的轨迹方程： （1）与⊙内切，且过点 （2）与⊙和⊙都外切． （3）与⊙外切，且与⊙内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙、⊙的半径为、且，则当它们外切时，；当它们内切时，．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程． 解：设动圆的半径为 （1）∵⊙与⊙内切，点在⊙外 ∴，， ∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有： ，， ∴双曲线方程为 （2）∵⊙与⊙、⊙都外切 ∴，， ∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有： ，， ∴所求的双曲线的方程为： （3）∵⊙与⊙外切，且与⊙内切 ∴，， ∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有： ，， ∴所求双曲线方程为： 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法． （2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标． 典型例题八 例8　在周长为48的直角三角形中，，，求以、为焦点，且过点的双曲线方程． 分析：首先应建立适当的坐标系．由于、为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知，，所以利用条件确定的边长是关键． 解：∵的周长为48，且， ∴设，，则． 由，得． ∴，，． 以所在直线为轴，以∴的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为． 由，得，，． 由，得，． 由，得所求双曲线方程为． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会