同济大学高等数学第六版 第三章 导数与微分应用.ppt

第一节 中值定理 一、罗尔( Rolle )定理 罗尔（ Rolle ）定理 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点 2) 定理条件只是充分的. 例1. 证明方程 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 三、柯西(Cauchy)中值定理 证: 作辅助函数 第二节 洛必达法则 一、问题的提出 四、简单的应用 第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性 一、单调性的判别法 二、曲线的凹凸性与拐点 第五节 函数的极值与最大最小值 一、函数的极值及其求法 一、最值的求法 二、应用举例 第六节 函数图形的描绘 一、渐近线 二、图形描绘的步骤 三、作图举例 第七节 曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 第三步 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势; 第五步 例2 解 非奇非偶函数,且无对称性. 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: 不存在 拐点 极值点 间断点 作图 例3 解 偶函数, 图形关于y轴对称. 拐点 极大值 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点: 拐点 1、函数极值的定义 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 定理1(必要条件) 定义 注意: 例如, 2、函数极值的求法 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) 求极值的步骤: (不是极值点情形) 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 定理3(第二充分条件) 证 同理可证(2). 例2 解 图形如下 注意: 例3 解 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 例1 解 计算 比较得 点击图片任意处播放\暂停 例2 　　敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？ 解 (1)建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 得唯一驻点 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 元， 租出去的房子有 套， 每月总收入为 （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高. 最大收入为 例4: 所围成的三角形面积最大． 使曲线在该点处的切线与直线 上求一点， 成一个曲边三角形，在曲边 围 及抛物线 由直线 = = 及 8 0 x y 2 = x y 2 = x y ， 8 0 = = x y 解 如图, 解得 一、渐近线 二、图形描绘的步骤 三、作图举例 定义: 1.铅直渐近线 例如 有铅直渐近线两条: 2.水平渐近线 例如 有水平渐近线两条: 3.斜渐近线 斜渐近线求法: 注意: 例1 解 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 三、泰勒(Taylor)中值定理 证明: 拉格朗日形式的余项 佩亚诺形式的余项 注意: 麦克劳林(Maclaurin)公式 解 代入公式,得 由公式可知 估计误差 其误差 常用函数的麦克劳林公式 解 一、单调性的判别法 二、曲线的凹凸性与拐点 定理 证 应用拉氏定理,得 例1 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 单调区间求法 例2 解 单调区间为 例3 解 单调区间为 例4 证 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 1、曲线凹凸性的定义 定义 定理1 2、曲线凹凸的判定 例1 解 注意到, 1、定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法 证 三、曲线的拐点及其求法 方法1: 例2 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 方法2: 例3 解 注意: 例4 解 一、函数极值及其求法 二、最大最小值问题 暨南大学珠海学院 第三章 一、罗尔中值