向量法解圆锥曲线中的最值.doc

向量法解圆锥曲线中的最值、定值问题的若干范例 江西省高安市石脑二中 王典辉 （330818） 圆锥曲线中的最值、定值问题是高考中的热点题型，而以向量为载体的圆锥曲线中的最值、定值问题又是近年来高考中出现的新题型。由于这类题型在解题之前不知道最值、定值的结果，因而对解题增加了一定难度。但利用向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性这一特征，能有效地探索到结果。本文通过具体的例子来说明用向量方法对这类问题的求解。 一、最值问题 例1．已知点A（0，1），B（0，－1），P为一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为－。 ⑴求动点P的轨迹C的方程； (⑵设Q（2,0），过点（－1,0）的直线l交C于M、N两点，△QMN的面积记为S，对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtan∠MQN成立，求λ最小值。 解：⑴如图1，设P（x，y），kPA=，kPB＝，由kPA·kPB＝－＝＝－＝＋y2＝1。 ⑵要由不等式S≤λtan∠MQN，求λ最小值一时难以分析清几个量之间的内在联系，于 是先从特殊情况进行分析。当MN⊥轴时，由上述椭圆方程知，点（－1,0）即为左焦点F1。此时｜F1Q｜＝3，又因为x＝－1时，y=±，所以｜NM｜＝，S△QMN＝。 又因为tan∠NQF1＝，tan∠NQN＝tan2∠NQF1＝＝＝。由S ≤λtan∠MQN得λ≥。 此时易猜想，当NM不垂直于x轴时，该结论或许还成立。可考虑在一般情况下转化的方式，先对关系式S≤λtan∠MQN利用向量进行分析。由三角形面积公式，得sin∠MQN≤λ， λ≥｜Q｜·｜Q｜cos∠MQN＝ Q·Q。 设M（x1，y1），N（x2，y2），则有 λ≥［( x1 – 2 ) ( x2 – 2 ) + y1 y2］ ＝［x1x2 – 2 ( x1 + x2 ) + 4 + y1y2］ ① 因为NM不垂直于x轴时，此时MN的方程可写成y = k ( x + 1 )，分别用两种方式代入x2 + 2y2 = 2，分别得 （1＋2k2）x2 + 4k2x + 2k2 – 2 = 0和(1 + 2k2) y2 - 2ky - k2 = 0 由韦达定理，代入①得 λ≥（+4） ＝（）＝· ＝-＜ 所以λ＞当MN⊥x轴时，λmin＝。 例2．（09。陕西理）已知双曲线C的方程为－＝1（a＞0，b＞0），离心率e＝，顶点到渐近线的距离为。 ⑴求双曲线C的方程； ⑵如图2，P是双曲线C上一点，A、B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限。若AP＝λPB，λ∈[，2]。求△AOB面积的取值范围。 解：⑴由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐进线的距离为，即＝＝与＝及a2+b2＝c2联立解得a = 2，b=1。所以双曲线的方程为- x2=1。 ⑵把△AOB的面积表示成某个变量的函数， 由于C的两条渐近线方程为y=±2x，故可设∠AOB=2θ，则tan(-θ)=2，tanθ==sin2θ=。 设P ( x0, y0 ) , A ( m, 2n ), B ( -n, 2n ) , ( m 0 , n 0 ) 由AP=( x0 - m, y0 - 2m) =λPB=λ(-n - x0 , 2n - y0 )得 x0 - m =λ(-n - x0) y0 - 2m=λ(2n - y0 ) 有x0=，y0=。所以P(，)。将P点坐标代入- x2 = 1=［］2-()2 = 1得mn = 又|OA|=m，|OB|=n，所以S△AOB=|OA|·|OB|sin2θ =·m·n·=2mn= =（λ+）+1≥2 因为λ∈［，2］，当且仅当λ＝1时，取得最小值，又S（）＝，S（2）＝，故S△AOB∈［2，］。 例3．［2006.北京理三］已知点M（－2,0），N（2，0），动点P满足条件|PM|·|PN|＝2，记动点P的轨迹为W。 ⑴求W的方程； ⑵若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA、OB的最小值。 解：⑴设P（x，y）则－＝2。化简整理得＝1，x≥。 ⑵设A、B的坐标分别为（x1,　y1）,(x2,　y2)，则＝1，当AB⊥x轴时， x1 = x2，y1 = －y2，从而OA·OB=x1x2 + y1y2 = x - y = 2。当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得(1 - k2) x2 - 2kmx - m2 - 2 = 0 当(1 - k2)≠0，即k≠±1时，x1+x2=，x1x2=，从而 y1y2 = (kx1 + m) (kx2 + m) = k2x1x2 + km (x1 + x2) + m2 所以OA·OB=(x1,y1)(x2,y2)=(x1,kx1+m)(x2,kx2+m) =x1x2+k2x1x2+km(x