八讲向量组及其线性组合.pptVIP

第三章小结 矩阵的初等变换 主要内容 主要内容 一、 维向量的概念 第十周实验 第一次实验内容： Matlab使用简介 使用Matlab进行矩阵的计算 使用Matlab进行向量的计算 请提前预习实验内容 请带实验指导书及实验报告纸 请遵守实验指导老师的要求进行实验操作 第十周实验 实验安排： 一班 旧机房 8：30开始 二班 新机房 8：30开始 三班 新机房 9：40开始 第十周实验 实验安排： 一班 旧机房 14：00开始 二班 新机房 14：00开始 定义２ 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． 从而 * 矩阵的初等变换与线性方程组 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵初等变换的应用 矩阵秩的定义 矩阵秩的求法 线性方程组解的存在性判定定理 线性方程组通解的求法 线性方程组 1.初等行(列)变换 2. 初等变换 3.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵 4.若A可逆，则A与单位阵E等价 1. 单位矩阵 初等矩阵. 一次初等变换 2. 初等矩阵的结论: 初等矩阵 推论 初等变换的应用: （3）求XA=B （1）求A-1 （2）求AX=B 1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). 矩阵的秩 最高阶非零子式 定理 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数． 满秩矩阵 降秩矩阵 (5) A是满秩矩阵 解向量 线性方程组 A称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵 线性方程组解的存在性判定定理 求解线性方程组的步骤： 写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解 如果有解，进一步化为行最简形矩阵 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量 令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解） 向量组及其线性组合 向量组的线性相关性 向量组的秩 第四章 向量组的线性相关性 线性方程组的解的结构 向量空间 n维向量、向量组的概念 向量、向量组与矩阵、方程组之间的联系 向量组的线性组合 第一节 向量组及其线性组合 定义1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 例如 n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如： 注意 　　１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 　　２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 　　３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量. 本书中, 常用黑体小写字母 b a 、 、 、 b a 等表 示列向量, 用 、 、 、 等来表示行 向量, 所讨论的向量在没有特别指明的情况 下都当作列向量. 注: 时, 维向量 具有直观的几何 图像. 例如, 时, 三维向量 空间向量; 时, 二维向量 平面向量; 时, 没有直观的几何图像. 由空间解析几何知, 空间通常作为点的集合, 空间, 一一对应, 故又把三维向量的全体所组成的集合 而空间点 与三维向量 称为点 称为三维向量空间. 成的集合 称为 维向量空间. 类似地, 维向量的全体所组 向量的线性运算 注: 向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算. 向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同. 即有 其中 例 设 如果向量满足 求 解 由题设条件, 有 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 向量组与矩阵 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. n个m维列向量所组成的向量组 构成一个m×n矩阵 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 线性方程组的向量形式 方程组的三种形式 线性方程组的向量形式 设线性方程组 于是, 就相当于是否存在 线性方程组 是否有解, 一组数 使得下列线性关系式成立: 此时, 又称向量 可由向量组 线性表示. 向量组的线性组合 定义 1 对给定向量组 若存在一组 数 a a a + + + n n k k k L 2 2 1 1 向量 称为所给向量组的一