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第八节 无穷小的比较 无穷小的比较 等价无穷小代换原理 一、 无穷小的比较 无穷小量是极限为0的函数, 但不同的函数趋于0的“速度”却不一定相同. y=2x y=x 为了反映在自变量的 同一变化过程中, 两个无穷小的趋 近快慢, 我们用这两个无穷小量商的极限来描述, 即称为阶. y=x2 o x y 例如 例如, 上例说明, 在自变量的 同一变化过程中, 两个无穷小量商的极限不同, 可以反映了两个无穷小量趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 定义1 例如， 解 例2 所以, 当x→0时, 与 是同阶无穷小. 所以当 x→0时, ln(1+x) ~ x. 当 x→0 时下列函数哪个是其他三个的高阶无穷小? C 二. 等价无穷小代换原理 证 必要性 设 因此 充分性 意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 于是 则 定理2 (等价代换原理)设 为同一极限过程中 无穷小量且 , ,若 存在, 证 根据极限运算法则 注1 由此定理可知,求两个无穷小量商的极限时, 如果分子, 来代换原来的分子和 分母, 使得计算简化. 分母的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的等价无穷小量 常用等价无穷小: 解 则 例3 求下列函数的极限： 解 解 所以 解 运用等价无穷小的代换, 有 解法一 解法二 求 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积, 则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换, 而不会改变原式的极限． 例4 解 解 解