六周次课初等矩阵.pptVIP

提 醒 下次课请带上《线性代数机算与应用指导（Matlab）版》 关于Matlab的自学材料可参考： (1)/resume/zhangxiaoxiang/jiaoxueziliao.htm (登录张小向老师的主页，然后点击链接“教学资料”) (2)图书馆有一些matlab的参考书 [1] 李继成: 数学实验, 高等教育出版社, 2006年10月, 第1版. [2] 罗建军: MATLAB教程, 电子工业出版社, 2005年7月, 第1版. [3] 徐金明等: MATLAB实用教程, 清华大学出版社， 2005年7月, 第1版. [4] 张圣勤: MATLAB7.0实用教程, 机械工业出版社, 2006年7月, 第1版. 关于矩阵秩的补充 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 命题. 设A为s?m矩阵, B为s?n矩阵, 则 max{r(A), r(B)} ? r(A, B) ? r(A)+r(B). 证明: ①因为A和B的子式也是分块矩阵(A, B) 的子式, 所以 于是max{r(A), r(B)} ? r(A, B)成立. r(B) ? r(A, B). r(A) ? r(A, B), ? 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 命题. 设A为s?m矩阵, B为s?n矩阵, 则 max{r(A), r(B)} ? r(A, B) ? r(A)+r(B). 证明: ②设P1AT = U1, P2BT = U2, 其中U1, U2为行最简形矩阵. 于是 = r(A)+r(B). r(A, B) = r(A, B)T = r AT BT = r AT BT P1 O O P2 = r U1 U2 ? U1 U2 的非零行数 ? 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 命题. 设A, B均为s?n矩阵, 则 r(A+B) ? r(A)+r(B). 证明: 记A = (?1, …, ?n), B = (?1, …, ?n). (A+B, B) = (?1+?1, …, ?n+?n, ?1, …, ?n) ?(?1) ?(?1) … ? (?1, …, ?n, ?1, …, ?n) = (A, B). 可见(A+B, B)与(A, B)等价, 因而 r(A+B, B) = r(A, B) r(A+B) ? ? r(A)+r(B). ? 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 命题. 设A为s?n矩阵, B为n?t矩阵, 则 r(AB) ? min{r(A), r(B)}. 证明: 设 A = P Q, Er O O O 其中P, Q为可逆矩阵. 则r(A) = r. 下面对QB进行分块: 其中Q1为r?t矩阵. Q1 Q2 QB = , r(AB) = r(P QB) Er O O O 于是 ? 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 r(AB) = r(P QB) Er O O O = r(Q1) = r( QB) Er O O O = r(A). 进而有 = r( Er O O O Q1 Q2 ) = r Q1 O ? r r(AB) = r(AB)T = r(BTAT) ? r(BT) = r(B). ? 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 例22. 设A为s?n矩阵, 证明r(A) = 1的充要条件 是存在非零 s 维列向量 ? 和非零 n 维列 向量?, 使得A = ??T. 证明: (必要性) 若r(A) = 1, 则存在可逆矩阵P 和Q使得 A = P Q. 1 0 … 0 0 0 … 0 … … … 0 0 … 0 ? 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 A = P Q. 1 0 … 0 0 0 … 0 … … … 0 0 … 0 ?T = (1 0 … 0)1?nQ, 令? = P , 1 0 … 0 s?1 则可以直接验证?为非零的s维列向量, ?为非零的n维列向量, 而且A = ??T. ? 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 (充分性)若存在非零s维列向量?和非零n维列 向量?, 使得A = ??T, 则r(A) ? r(?) = 1. 设? = , a1 a2 … as ? = (b1 b2 … bn), 其中某个ai和bj非零, 则aibj为A中的非零元素, 故r(A) ? 1. 因而r(