六常用离散型随机变量的理论分布.pptVIP

第二节 常用离散变量的理论分布;对于n次独立的试验;在n重贝努里试验中，事件 A 可能发生0，1，2，…，n次，来求事件 A 恰好发生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。 例：抛掷4次硬币，正面朝上（A）出现2次的概率。先取n=4，k=2。在4次试验中，事件A发生2次的方式有以下C42种：;其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次试验发生； (k=1,2,3,4)表示事件A在第k次试验不发生。由于试验是独立的，按概率的乘法法则，于是有 又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按概率的加法法则，事件A恰好发生2次的概率为 ;一般，在n重贝努里试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为 k=0,1,2…,n;（二）二项分布的定义及性质;例 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.; 2、二项分布的性质：容易验证，二项分布具有概率分布的一切性质，即： （1）P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,…，n) （2）二项分布的概率之和等于1，即; ;（3） （4） （5） （m1m2）;3、二项分布的图形特征： 二项分布的图形由n和p两个参数决定： （1）当p值较小且n不大时，分布是偏斜的。但随着n增大 ，分布逐渐趋于对称； （2）当p值趋于0.5时，分布趋于对称； （3）对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少。 ;;当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在 k=(n +1)p和k =(n+1)p-1 处达到最大值。;二项分布图;此外，在n较大，np、nq较接近时 ，二项分布接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极限分布是正态分布。(n≥30,np≥5,nq≥5时，近似正态分布。);（三）二项分布概率计算及应用条件; 解：设同一时刻使用电力的车床数为X，则服从二项 分布。; [例2] 滨海市保险公司发现索赔要求中有15%是因为被盗而提出的。现在知道1999年中，公司共收到20个索赔要求，试求其中包含7个或7个以上被盗索赔的概率。;解：;二项分布的应用条件有三：;（四）二项分布的平均数与标准差; ;二、两点分布（Two-point distribution） 当n=1，二项分布中“成功次数”只能取值0或1 设 的分布列为 称 服从两点分布或0—1分布或贝努里分布。不难发现两点分布就是二项分布N=1的特殊情形。;三.几何分布(Geometry distribution) 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p， 设试验进行到第 次才出现成功。 (xi)的分布列为 P k=1.2… （k=1.2…）是几何级数的 一般项。因此称它为几何分布记为 ～g(k；p)。;四、超几何分布(Super geometry distribution);; 当研究对象是小群体，并且采用不回置抽样时，成功的概率将不再恒定，也就是二项分布所要求的独立试验的条件不再被满足，而超几何分布将适合于这种情况的研究。 当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，可用二项分布来近似超几何分布。一般当n/N≤0.1时，这种近似就是可以采用的。 ;五、泊松分布(PoissonDistribution ); ;（一）泊松分布的定义与特征;（2）;复习:;2、泊松分布重要的特征：;证明：泊松(Poisson)分布的数学期望与方差。;;3、泊松分布的图形特征： λ是泊松分布所依赖的唯一参数。 λ值愈小分布愈偏倚，随着λ的增大，分布趋于对称。 当λ= 20时分布接近于正态分??；当λ=50时，可以认为波松分布呈正态分布。 在实际工作中，当λ≥20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。;泊松分布;（二）泊松分布的概率计算;;【例】为监测饮用水的污染情况，现检验某社区每毫升饮用水中细菌数，共得400个记录如下：;经计算得每毫升水中平均细菌数 =0.500，方差S2=0.496。两者很接近， 故可认为细菌数/ml(水) 服从泊松分布。以 =0.500代替公式中的λ，得