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第6章 离散信号与系统的域分析 6.1 引言 6.2 变换 6.3 Z逆变换 6.4 离散系统的Z域分析 6.1 引言 在连续系统的分析中，通过将输入信号f(t)分解成基本信号的线性组合办法，可以把时域中复杂的卷积积分运算，转化为频域、复频域中的简单乘法运算。 与此对应，连续系统的数学模型也由时域中的微（积）分方程转化成频域、复频域中的代数方程。这个步骤可以用图6-1（a）来描述。离散系统的分析也是这样，通过求f(n)的Z变换转化为Z域、频域中的代数方程。图6-1（b）描述了这一过程。 6.2 变换 6.2.1 从拉普拉斯变换到变换 离散时间信号的Z变换，可以由抽样信号的拉氏变换推导出来。设连续时间信号为f(t)，利用 函数的筛选特性，在{…， ，0， …}瞬间抽样，则抽样函数 可表示为 对抽样函数 取拉氏变换 令复变函数 ，式中 则 6.2 变换 这是对抽样序列 的Z变换式。对于任何一个离散时间序列f(n)的Z变换式。对于任何一个离散时间序列f(n)，其变换式定义为 上式称双边Z变换。 若f(n)是因果序列，则总会有一个起始时刻（设为n=0），若满足f(n)=0(n0)，则上式可写作 上式称单边Z变换。 在实际中，多数序列具有因果性，亦称为有起因序列，所以，这里主要讨论单边Z变换。 6.2 变换 Z变换可简单记作 离散序列f(n)的变换是复变数 的幂级数，其系数是f(n)的样值。 f(n)的Z变换展开式 6.2.2 Z变换的收敛域 Z变换的定义式是一个无穷级数，只有当级数收敛时，Z变换才有意义，因此研究Z变换的收敛域是非常重要的。所谓F(z)的收敛域是指使和式 存在的复变函数Z的集合。在Z平面（复平面）内 6.2 变换 式中，复数的幅值 ，幅角 。则和式为 如果能找到三个正数M， ， 满足不等式 并使和式 为有限值，其充分必要条件是 和 即 6.2 变换 式中， 是由 的右边序列f(n)的形式确定， 是由n0的左边序列f(n)的形式确定的。 6.2.3 常用序列的Z变换 1. 指数序列 指数序列 的Z变换为 即 6.2 变换 若令 ， ，则 2. 单位阶跃序列 单位阶跃序列 的Z变换为 即 3. 单位冲激信号 单位冲激信号 的Z变换为 即 6.2 变换 4. 正弦序列 正弦序列 ，令式中的 ，则有 同理有 由于 则 用同样的方法可得 6.2 变换 6.2.4 Z变换的性质 1. 线性 若 则 其收敛域为 与 收敛域的交集部分。根据Z变换的定义，很容易证明以上结论，请读者自己证明。 2. 时移性质（双边Z变换的时移） 若 ，收敛域为 ，且 ， 6.2 变换 则 其收敛域为 3. 频移性质 若 ， 且有常数 ，则 即序列f(n)乘以指数序列 ，相当于在Z域的展缩。 6.2 变换 4. 卷积性质 若 则 其收敛域为 与 收敛域的交集部分。 5. Z域积分性质 若 ， 设有整数m，且n+m0， 则 6.2 变换 若m=0且n0，则 6. 初值定理 初值定理适用于右边序列，即适用于nM（M为整数时），f(n)=0的序列。 如果序列在n0（M=0）时，f(n)=0，它与象函数的关系为 6.2 变换 则序列的初值 7. 终值定理 终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得序列。 若序列f(n)=0，nM（M为整数时）， 6.2 变换 设 则 由于上式是取 的极限，因此，终值定理要求z=1在收敛域 内，这是 存在。 以上七条性质在变换求解中是极为重要的，熟悉这七条性质，并灵活应用将对运算起到简化作用。 6.3 Z逆变换 求F(z)的Z逆变换，就是由象函数F(z)求原序列f(n)的问题。一般而言，双边序列f(n)可分为因果序列 和反因果序