六金融衍生数学.pptxVIP

第六章;鞅理论根据时间序列的趋势对时间序列进行分类。如果随机轨道没有明显的趋势或周期，那么这个随机过程具有鞅的行为。 平均而言，具有递增趋势的过程，被称为下鞅；具有递减趋势的过程被称为上鞅。;记号;?;连续时间鞅;定义;根据这个定义，鞅是一个随机过程，在当前信息集合给定的条件下，它在未来的变化完全无法预测。 例如，假设St是鞅，考虑St在长度为u0的时间区间上变化的预测值： Et[St+u-St]=Et[St+u]-Et[St] 如果St是鞅，那么Et[St+u]也等于St 。 也就是说Et[St+u-St]=0;鞅在资产定价中的使用; 对于风险股票而言，一般来说，St有正的预期收益，但不是鞅。对小区间△来说，有： Et[St+u-St] ≈ μ△ μ是正的预期收益率。 期货和期权也有类似的情况。例如期权有时间价值，随着时间的流逝，欧式期权的价格下跌，这样的过程是上鞅。 ;虽然大多数金融资产不是鞅，但我们可以将其转化为鞅。 第一种方法是，从e-rtSt或e-rtBt中减去预期趋势，这就使得趋势附近的偏差完全没办法预测。因而转换后的变量为鞅。 这种Doob-Meyer分解意味着在某些通常条件下，任何连续时间过程都可以分解为一个鞅和一个递增（或递减）过程。;?;?;?;鞅在随机建模中的重要性;?;?;?;鞅轨道的性质;?;?;?;?;?;鞅例：布朗运动;如果△是一个很小的时间区间， △上的增量△Xt服从均值为μ△方差为σ2△的正态分布。也就是： △Xt～N(μ△, σ2) 增量不相关意味着： E[（ △Xt- μ△)(△Xt- μ△)]=0 其中，u≠t 现在考虑Xt是不是鞅。;?;?;考虑一个过程： Zt=Xt-μT Et[Zt+T]= Et[Xt+T-μ(t+T)] =E[Xt+(Xt+T-Xt)]- μ(t+T) =Xt+E [Xt+T-Xt]- μ(t+T) =Xt-μt =Zt 因此Zt是鞅。;鞅例2：平方过程;?;使用上例中的方法，可以消去趋势项，使之成为鞅。 可以证明： Et[Zt+T-σ2(T+t)]=Zt-σ2t 因此，在Zt中减去一个σ2t， 就转化为了鞅。 ;鞅例3：指数过程;鞅例4：右连续鞅;最简单的鞅;考虑YT在不同时刻的“连续”预测，用Mt表示，概率用P表示： Mt=EP[YT|It] 可以证明，预测序列{Mt}是鞅。也就是说，对s0而言， EP[Mt+s|It]=Mt 这个结果源于条件期望的递归性质。;对于任意随机变量而言，有： EP[EP[Z|It+s]|It]=EP[Z|It] , s0 也就是说对未来预测值的最佳预测，就是基于现在的预测。应用到Mt+s，就得到： EP[Mt+s|It]=EP[EP[YT|It+s]|It] 本身也是一个预测结果。对上式再变换得： EP[EP[YT|It+s]|It]=EP[YT] 即，Mt是鞅。;应用;?;?;鞅表示;?;?;?;?;?;?;?;Doob-Meyer分解;?;一般情形;这个定理说明，即使观察的资产价格偶有跳跃，同时也存在某种趋势，那么减去一个t时刻就能观察到的过程后，我们就可以将这个过程转化为鞅。 如果原来的连续时间过程不会发生跳跃但是连续的，那么所导出的鞅也是连续的。;Doob-Meyer分解的用途;因此，如果标的资产价格高于执行价格K，期权有价值，反之价格为0. 更早时刻t,期权价值CT未知，但是根据t时刻的信息集It，能计算出它的预测值： EP[CT|It]=EP[max[ST-K,0]|It] 那么就这个预测值而言，公平市场价格Ct是否等于的贴现值呢？;?;?;随机积分的第一个例子;?;?;鞅方法与定价;?;?;定价方法;?;?;?;?;对于上述情况，有两种方法解决。 第一种，我们可以像以前一样，通过正规化，也就是除以相应的一个无套利价格，使得其转化为鞅。 第二种方法，我们可以对概率分布进行转换。 也就是，人造出一个风险中性概率。这在以后的章节中将会讨论。; 第六章  完