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第八章 几何中的不等 本章讨论以下问题： 最大最小问题 埃多斯——莫德耳不等式 几类几何三角不等式 §8.1 最大最小问题 一、等周问题： “等周”意即“有相等的周长”. 等周问题一般有如下两类： 在具有某种性质的所有几何图形中，哪一个有最大面积或体积； 在具有某种性质的所有几何图形中，哪一个有最小周长或表面积. 1、三角形的等周问题： 定理8.1.1 （1）在具有公共底边和相同周长的所有三角形中，等腰三角形有最大面积； （2）在具有公共底边和相同面积的所有三角形中，等腰三角形有最小周长. 证明： （1）在△ABC中，设周长2p=a+b+c，公共底边为a，则 §8.1 最大最小问题 定理8.1.2 如果两个三角形有相同的底边和周长，则另外两边之差较小的三角形有较大面积.（练习） §8.1 最大最小问题 定理8.1.3（1）在具有给定周长的所有三角形中，等边三角形有最大面积. （2）在具有给定面积的所有三角形中，等边三角形有最小周长. 2、多边形的等周问题： （1）四边形的等周问题： 定理8.1.4 当边长给定的四边形能够内接于一个圆时有最大面积. 证明：设任意四边形ABCD的边长依次为a,b,c,d，面积为S，周长为2p，设∠BAD=α,∠BCD=β,对角线BD=f,则 4S＝2absinα+2cdsinβ,两边平方得： 16S2=4a2b2sin2α+8abcdsinαsinβ+4c2d2sin2β (1) 又a2+b2－2abcosα=f 2=c2+d2－2cdcosβ 即a2+b2－c2－d2=2abcosα－2cdcosβ，两边平方得 (a2+b2－c2－d2)2=4a2b2cos2α－8abcdcosαcosβ+4c2d2cos2β (2) (1)+(2)得：16S2+(a2+b2－c2－d2)2=4a2b2+4c2d2－8abcdcos(α+β) 由于a,b,c,d为定值，故当cos(α+β)最小时，S最大. 即cos(α+β)=－1, 所以，α+β＝180°时，S最大. 定理8.1.5 （1）在具有给定周长的所有四边形中，正方形有最大面积； （2）在具有给定面积的所有四边形中，正方形有最小周长. 证明：(1)设四边形ABCD的周长为2p, 连BD，设AB+AD=2x,BC+DC=2y,则2x+2y=2p. 在△ABD中，以BD为底，另两边之和为定值 2x的所有三角形中，以等腰三角形面积最大. 设△A’BD为等腰三角形，A’B=A’D,且A’B+A’D=2x. 同理，将△BCD变为等腰△BC’D,BC’=C’D,BC’+C’D=2y. 此时，SABCDSA’BC’D,且它们有相同的周长. 再连A’C’，同理，以A’C’为底，另两边之和为定值x+y的所有三角形中，等腰三角形面积最大. 即当A’B’=B’C’,A’B’+B’C’=x+y时，S△A’B’C’S△A’BC’. 当 A’D’=D’C’,A’D’+D’C’=x+y时，S△A’D’C’S△A’DC’. 所以，SA’B’C’D’SA’BC’D. 因此，经过上述变形后，原四边形ABCD的面积小于菱形A’B’C’D’的面积，且它们有相同的周长. 根据定理8.1.4知，当此菱形内接于圆时（正方形）有最大面积. 故在具有给定周长的所有四边形中正方形有最大面积. 定理8.1.5 （1）在具有给定周长的所有四边形中，正方形有最大面积； （2）在具有给定面积的所有四边形中，正方形有最小周长. 证明（2）：设四边形ABCD的面积为S，周长为2p. 作正方形A`B`C`D`使其面积也是S，记其周长为2p1， 往证：2p2p1. 再作另一正方形EFGH使其周长为2p. 则由（1）的证明知： SEFGHSABCD＝SA`B`C`D`. 由于EFGH, A`B`C`D`均为正方形，它们的周长分别为2p , 2p1, 所以，2p2p1. §8.1 最大最小问题 （2）多边形的等周问题： 引理8.1.1 周长一定的n边形取得最大面积的必要条件为各边相等. 证明：不妨设A1A2与A2A3不等， 作等腰三角形△ AA1A3，使AA1+AA3=A1A2+A2A3. 根据定理8.1.1(2)知 △ AA1A3的面积大于 △ A1A2A3的面积. §8.1 最大最小问题 引理8.1.2 设n边形的n条边之中只有一边的长度可以任取，其余n-1条边的长度一定，一切这样的n边形中，具有最大面积的n边形一定内接于长度可以任意选取的那条边为直径的半圆周. 证明：设在n边形A1A2…An中，A1An的长度可以任取. 连结A1A