函数的定义域和值域高等数学.PPTVIP

函数的定义域和函数值域 函数的定义域 函数的定义域:自变量X取值的集合。 1、 求下列函数的定义域： 2、已知扇形周长为10，求此扇形的面积S与半径r之间的函数关系式并且求其定义域. 解：要使函数 有意义， 解得: ? ? (1)利用函数的单调性:由定义域出发,根据函数的单调性,从内到外y求出的取值. 例1、求下列函数的值域： 1? 2? 例1、求下列函数的值域： 1? 2? 1? ∵ ∴ y?1 即函数的值域是 { y| y?R且y?1} 例2、1.若为x≥0实数，求y=x2+2x+3的 值域. 2.求函数 的值域. 1.若为x≥0实数,求 y =x2+2x+3的值域 解：由题设 x≥0 ,y = x2 +2x +3 =(x +1)2+2 当 x =0 时 ymin=3 函数无最大值 ∴函数 y =x2+2x +3的值域是{ y| y≥3} 解2：去分母:(y?1)x2+(y+5)x?6y?6=0 (*) 当 y?1时 ∵x?R ∴△=(y+5)2+4(y?1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2≥0 检验 :当y=-1/5 时, （代入(*)求根 x=-3 ） ∵-3?定义域 { x| x?2且 x?-3} ∴当y =1 代入(*)求得 x=2 ∴y?1 ∴函数的值域为 { y| y?1且 y ? } 例4、求函数 的值域 求函数的值域的常用方法 1.直接法：应注意基本初等函数的值域. 2.利用函数的单调性； 3.二次函数的值域,应特别当心“定义域”. 4.反函数法,反函数的定义域是原函数的值域. 5.利用基本不等式, 6.一元二次方程根的判别式. (△法),须检验. 7.部分分式法. 8.换元法：注意“新元”的取值范围. 变量代换法.三角代换法 9.数形结合. 练习 求下列函数的值域 例5、已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)(1)若f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.(2)若f(x)的值域为R时,求实数a的取值范围. * * 函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的集合。 底数大于0且不等于1,底数大于0. 对数式 偶次根式的被开方数大于或等于0. 根式 分母不为0. 分式 取一切实数. 整式 3、若函数f(x)的定义域为[?1，1]，求函数 的定义域。 ∴函数的定义域为： 必须： 4、设 的定义域是[?3， ]，求函数 的定义域。 解:∵函数f(x)的定义域为:[?3， ]， ∴函数 的定义域为： 的定义域 在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫函数值; 函数值的集合叫函数的值域. 函数的值域 函数值域的几种求法： 例:求下列函数的值域: (1)y=2x+√3x+2; (2)y=log0.5(x2-6x+17) 函数值域的几种求法： (2)反函数法:利用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而求得原函数的值域。 解:由函数解得: ,值域为：y≠2 例1、求f(x)= 的值域 方法归纳：形如y= (c≠0)函数可 用反函数法。 函数值域的几种求法： (3)分离常数法：求函数定义域在某个区间上的值域，可将原函数变形而求得值域。 方法归纳：形如y= (a≠0)在某个区间 上的值域，可用分离常数法 例2：求函数y= (x≥0)的值域。 解: 例3：求函数y=x2+2x+5的值域。 (4)配方法：将二次函数进行配方，完全平方与绝对值的平方等价，可以转化为距离，从而求得值域。 解得：值域{y|y≥4} 方法归纳：形如y=ax2+bx+c（a≠0)的值域， 均可用此方法求。 函数值域的几种求法： 解: y=x2+2x+5=(x+1)2+4≥4, 练习（1）求y=-x2-2x+3(-5≤x ≤ -2)的值域。 （2）求 y=√-x2+x+2 的值域。 (5)判别式法：对于分子分母是二次多项式的分式