函数的定义域高等数学.PPTVIP

共 58 页 第五讲 函数的定义域 教材知识整合 回归教材 1.函数的定义域是使函数的解析式有意义的实数x的集合.研究函数时应先考虑函数的定义域;常见的有:分式的分母不为零,偶次方根的被开方数大于或等于零,对数的真数大于零,底大于零且不等于1,00没意义,y=tanx的定义域为 {x|x∈R且x≠kπ k∈Z},当f(x)是由几个数学式子组成时,定义域是使各式都有意义的x的取值集合.对于实际问题中的函数关系,要考虑实际问题对x范围的制约. 对于复合函数的定义域,是指f[g(x)]中x的取值范围,在求复合函数的定义域或已知复合函数的定义域求原函数的定义域时,必须保证一条:内函数的值域等于外函数的定义域. 2.求函数的解析式常用的方法有:换元法?配凑法?待定系数法?消元法等. (1)已知f[g(x)],求f(x),常用换元法和配凑法. (2)已知函数的类型,求函数解析式常用待定系数法. (3)若已知条件中出现“f(x),f ”,“f(x),f(-x)”等对称形式求解析式时常用消元法. 基础自测 1.(2011·江西期末测试)若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于( ) A.3-cos2x  B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x 解析:f(sinx)=3-cos2x=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x,故f(x)=2+2x2,f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x. 答案:C 2.函数 的定义域为( ) A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1\] 解析:由 得-1x1. 答案:C 3.已知f(x)的定义域为[1,4],则函数y=f(x)+f(x2)的定义域为( ) A.[1,4] B.[1,2] C.[-2,-1]∪[1,2] D.[-2,2] 解析:由题意得 解得1≤x≤2 答案:B 4.(2010·广东)函数f(x)=lg(x-2)的定义域是________. 解析:由x-20得x2. 答案:(2,+∞) 5.已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=________. 解析:由f(x)=x2+4x+3,得f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3 又f(ax+b)=x2+10x+24, 重点难点突破 题型一 求函数的解析式 (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 由f(0)=0,得c=0. 由f(x+1)=f(x)+x+1, 得a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c+x+1. 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1. [点评] (1)求函数的解析式常用:代入法?换元法?拼凑法?待定系数法?消元法以及赋值法等.(2)在求函数的解析式时,一定要注意函数的定义域. 题型二 求函数的定义域 【例2】求下列函数的定义域: [点评] (1)要使解析式f(x)有意义,一般注意以下问题:①分母不为0;②偶次方根被开方数非负;③对数的真数大于0,底数大于0且不为1;④tanx,cotx有意义的x的范围,每个式子均有意义,故f(x)的x取值应是各部分的交集.(2)对参数进行分类讨论,要确立分类标准,做到不重不漏. 解析:∵ 的定义域为(0,+∞),结合选择支 可知答案为C. 答案:C 【例3】 (1)已知f(x)的定义域为(0,2],求f(x2)的定义域; (2)已知f(x2)的定义域为(0,2],求f(x)的定义域; (3)已知f(x2)的定义域为(0,2],求f(2x)的定义域. [点评] 函数的定义域就是自变量x的取值范围,求复合函数的定义域,要把握住一点,内函数的值域等于外函数的定义域. 变式3:已知f(x)的定义域为(0,2],则函数y=f(3x-2)+f(log2x)的定义域为________. 题型三 已知函数的定义域,求字母的值或范围 【例4】 (1)已知 的定义域为(-∞,1],求a的值; (2)已知函数y=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]的定义域为R,求a的取值范围. [解] (1)欲使原函数有意义,需1+3xa≥0, 又 的定义域为(-∞,1\], ∴1+3xa≥0的解集为(-∞,1\]. 即:1+3xa=0的根为1,∴1+3a=0,a=-?. (2)当a=-1时,函数化为y=lg1有意义,定义域为R. 当a=1时,函数化为y=lg(2x+1)显然不合题意. 当