函数的对应法则求法高等数学.pptVIP

第六小组组长：杨丹 组员：陈静、严英、田晓东、黄以纯、郑美艳、冯康欣、杨琴、袁杰、宋慧玲 函数的对应法则定义 就是指“送数”的方式，它决定了函数的对应法则将对应法则的作用对象以何种方式“送”出去，送出去后又成为什么结果（表达式）．对于函数 y＝f(x)(x∈R，y∈R)，对应法则，“f”只是个代号，重要的是要弄清对应法则的实质，如函数f(x)＝2x2－x－3的对应法则的含义是指“对象的平方的两倍与对象的差，再与3的差”，明确了“自变量”x与“应变量”2x2－x－3的对应关系．而2x2－x－3是函数f(x)的表达式，2x2＋3x－2是函数f(x＋1)的表达式． 函数对应法则的求法 1.待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数?。 例：是否存在满足下列条件的函数：是三次函数，且 如存在，求出的表达式；若不存在，说明理由． 分析：首先假设函数存在，用字母设出函数的解析式，利用已知的条件建立方程或方程组，解方程组，求出未知数，写出函数解析式． 解：设 ，则 ． 由题意可建立方程式，得 解以上方程组，得 故存在满足条件的的函数 存在 ，表达式为 2、换元法：已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法。具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确定新元t的取值范围。 例：已知f（1/x）=x/（1-x），求f（x）的解析式？ 解：令t=1/x(t≠0),则x=1/t 所以f(t)=(1/t)/(1-1/t)=1/(t-1) 所以f(x)=1/(x-1)(x≠0) 3、解方程组法：求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f（x）的解析式。 例：已知af(x)+bf(-x)=cx; af(-x)+bf(x)=-cx; 求f(x) 解：af(x)+bf(-x)=cx; 1 af(-x)+bf(x)=-cx; 2 1式*a 2式*b 得a^2f(x)+abf(-x)=acx 3 abf(-x)+b^2f(x)=-bcx 4 3-4 (a^2-b^2)f(x)=(ac+bc)x 　　所以f(x)=cx/(a-b) 4、特殊值代入法：令变量取某些特殊值，从而减少未知元，求出函数解析式. 例：已知f(x)是定义在R上的函数，且f(0)=1，f(y-x)=f(y)-xe3x+y，求函数f(x)解析式。 解：取x=y，则由已知等式，有f(0)=f(x)-xe4x， ∵f(0)=1，∴f(x)=1+xe4x. 5、配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。?一般的利用完全平方公式。 例：已知f(x-1/x)=x2+1/x2,求f(x)解析式。 解：f(x-1/x)=(x-1/x)2+2 　　则f(x)=x2+2 6、归纳递推法：若函数的定义域为N，且函数关系式是由递推关系给出的，可用递推法求出f(x). 例： 已知函数f(x)定义域为N，且对任意的n∈N，都满足 　　f(n+1)=f(n)+2n+1，f(1)=1，求f(x). 　　解 由f(n+1)=f(n)+2n+1， 　　依次令n=1，2，…，n-1，有 　　f(2)=f(1)+3， 　　f(3)=f(2)+5， 　　…… 　　f(n)=f(n-1)+2n-1, 　　以上n-1个式子相加，得 　　f(n)=f(1)+3+5+…+(2n-1) 　　 =1+3+5+…+(2n-1)=n2，故f(x)=x2(x∈N). 7、数列法：求定义在正整数集N上的函数f(n)，实际上就是数列{f(n)}(n=1，2，…)的通项.数列法就是利用等比、等差数列的有关知识(通项公式、求和公式等)求定义在N上的函数f(n). 例：已知f(1)=1，且对任意正整数n，都有f(n+1)=3f(n)+2，求f(n). 　　解 由f(n+1)=3f(n)+2，有 　　f(n+1)+1=3［f(n)+1)］. 　　∴f(n+1)+1[]f(n)+1=3. 　　{f(n)+1}为公比是3的等比数列，其首