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函数的极值与导数(上课)
* 作业及练习 1.3.2 函数的极值与导数 单调性与导数的关系: 设函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f ′(x)0,则f(x)为增函数; 如果f ′(x)0,则f(x)为减函数; 如果f ′(x)=0,则f(x)为常数函数; 复习: 观察图像: 函数的极值定义 使函数取得极值的点x0称为极值点 (3)极大值与极小值没有必然关系, 极大值可能比极小值还小. 注意: o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) (1)极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; (2)函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值; 观察与思考:极值与导数有何关系? 对于可导函数, 若x0是极值点,则 f’(x0)=0; 反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点. o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x 增 f?(x) 0 f?(x) =0 f?(x) 0 极大值 减 f?(x) 0 f?(x) =0 增 减 极小值 f?(x) 0 如何判断f (x0)是极大值或是极小值? 左正右负为极大,右正左负为极小 若寻找可导函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可? 思考 探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点? x y O f (x)?x3 f?(x)=3x2 当f?(x)=0时,x =0,而x =0不是该函数的极值点. f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) =0 注意:f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 练习1 下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 因为 所以 例1 求函数 的极值. 解: 令 解得 或 当 , 即 , 或 ; 当 , 即 . 当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表: 极小值 极大值 f (x) 0 0 ( 2, +∞) 2 (–2, 2) –2 (–∞, –2) x – + + 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 . 例题选讲: 解: 令 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, ,y的变化情况如下表: ↗ 极小值 ↘ 极大值 ↗ y + 0 - 0 + y’ (2,+∞) 2 (-2,2) -2 (-∞,-2) x 因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值= ; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值= . 例1 求函数 的极值. 例题1的图像 -2 o x y 2 + - - + f(x)= x3-4x+4 求可导函数f(x)极值的 步骤: (2)求导数f ’(x); (3)求方程f ’(x)=0的根; (4)把定义域划分为部分区间,并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— 如果左正右负(+ ~ -), 那么f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正(- ~ +), 那么f(x)在这个根处取得极小值; (1) 确定函数的定义域; 注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。 练习1.判断下面4个命题,其中是真命题序号为 。 ①可导函数必有极值; ②可导函数在极值点的导数一定等于零; ③函数的极小值一定小于极
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