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函数的极值与最值高等数学.PPTVIP

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函数的极值与最值高等数学

第五节 函数的极值与最值 二、函数的最值 利用最值证明不等式 经济应用举例 * 一、函数的极值及其求法 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 注:极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大. 定理1(极值的必要条件) 由费马引理可知, 所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。 但反之不然,驻点不一定是极值点. x y O 此外, 不可导点也可能是极值点, x y O 函数的不可导点也不一定是极值点, x y O 这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一. 我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点. 下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点. 定理2(极值的第一充分条件) 一阶导数变号法 定理3(极值的第二充分判别法) 称为“二阶导数非零法” (1)记忆:几何直观; 说明: (2) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点; (1) 确定函数的定义域; 求极值的步骤: (3) 求定义域内部的极值可疑点(即驻点或 一阶导数不存在的点); (4)考虑这些点的左右邻域内 的符号,从而判定 这些点是否是极值点, (5)求出各极值点的函数值,就得到函数的全部极值. 或则利用第二充分条件(只能判别驻点). 例1 解法一 列表讨论 极大值 极小值 例1 解法二 例2 解 求函数 的极值 函数的定义域为 时函数的导数不存在. 因此,函数的极小值为f(-1)=0,f(1)=0;极大值为f(0)=1. 例3 解 列表讨论 极大值 极小值 例4 解 注意定义域! 导数左负右正, 极值是局部性的,而最值是全局性的. 具体求法: 例5 解 当 时,导数不存在. 在许多实际问题中,往往用到求函数最值的下述方法: 例6 解 得到 在区间 内唯一驻点: 从而 又 例7 解 1.平均成本(AC)最低问题 例8 设成本函数为 则平均成本为 得驻点 最小平均成本为 2.最大利润问题 例9 利润函数为 解 得驻点 * * *

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