分式线性变换学习.PPTVIP

作业 P318习题(一) 4(1)(3); 5; 6 P318习题(一) 7(2); 8(1);10;11 本节结束 谢谢！ 3 分式线性变换的保对称性 定理7.12 证明 由分式线性变换的保角性, 由定理7.11, 解 由定理7.12, 例5 求线性变换 变为上半平面, 使将圆盘 由分式线性变换的保交比性, 所求的变换为 即 整理后得 六 分式线性变换的应用 由于线性变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周)性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中,起着重要的作用,下面介绍一些类型. 例6 事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时 即实轴变为实轴是同向的, 或 解 例7 解 故 即 故 解该方程组得 故所的线性变换为 例8 解 由线线变换的保对称性, 因此这个变换应具有形式, 故可令 从而所求的将上半平面变为单位圆的分式线性变换为 注1 确定变换(7.13)的k,只需再给一对边界对应点. 注2 例9 解 由分式线线变换的保对称性, 因此所求变换具有形式 利用单位圆周变为单位圆周的条件知, 因此令 从而所求的单位圆变为单位圆的分式线性变换为 注1 确定变换(7.14)的k,只需再给一对边界对应点. 注2 例10 解 作线线变换 复合上述两个变换得 整理得 即由 得 从而所求的变换为 例11 解 (1)先作伸缩变换 (2)再作平移变换 使得 于是 (4)排列对应点 (5)将以上线性变换复合起来,即得所求的线性变换为 * Department of Mathematics 第二节 分式线性变换 一 分式线性变换及其分解 1 分式线性变换概念 (1) 函数 称为分式线性变换,简记为 (2) 在扩充z平面上补充定义 (4) 由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的 2 分式线性变换的分解 (1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合 (2) (I)(II)型变换的几何性质 旋转 位似(伸缩) 平移 旋转与伸长(或缩短)变换 平移映射 此变换可进一步分解为: 关于单位圆周的对称变换; 关于实轴的对称变换 . . . . 规定: 无穷远点的对称点是圆心O. . . . . 即: 例1 试将线性变换 分解为简单变换的复合. 解 因此可分解为 的复合. 例2 试证:除恒等变换外,一切线性变换(7.3)恒有两个 相异的或一个二重的不动点 证明 线性变换(7.3) 的不动点适合 即 上面系数不全为零, 这时(7.3)为 有不动点 不动点 二 分式线性变换的共形性 定义7.3 由定义7.3引入两个反演变换 3 定理7.7 分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的. 注 在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性. 三 分式线性变换的保交比性 1定义7.4 注 2 定理7.8 在分式线性变换下，四点的交比不变。 证明 因此 注 因此只需指定三对对应点: 且除相差一个常数因子外是唯一的. 3 定理7.9 注 三对对应点唯一确定一分式线性变换. 证明 先考虑已给各点都是有限点的情形, 设所求分式线性函数是 那么，由 得 同理，有 因此，有 由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。 那么，由 同理有 由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。 其次，如果已给各点除 外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式： 例3 求将 分别变为 的分式线性变换. 解 所求的分式线性变换为 即 整理得 四 分式线性变换的保圆周(圆)性 对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线). 对(II)型: 因圆周(或直线)可表为 它表示圆周或直线. 1 定理7.10 分式线性变换将平面上圆周(或直线)变为圆周(或直线). 注1 在扩充z平面上,直线可视为过无穷远点的圆周. 事实上,(7.11)可写成 注2 同时圆被共形变换成圆 ---分式线性变换的保圆性. . . . . . . . . . . . . 注3 在扩充z平面上给定区域K及D,其边界都是圆周,则K必可共形变换成D. 注4 例4 试决定在分式线性变换 下实轴与上半z平面及单位圆 的像. 解 (1) 因系数为实数, 从而该线性变换把实轴变为实轴, 故将实轴为边界的两个区域,即上下两个半平面, (2) 扩充z平面上的圆周由三个点决定, 五 分式线性变换的保对称性 1定义7.5 注 证明 “必要性” . . . 则 所以 “充分性” . . . . 2 定理7.11 证明 . . . .