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第二节 分离变量法The method of separation of variables 1. 有界弦的自由振动 例2 * * * * (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) 首先设法找到所有具有变量分离形式的满足方程（1.1）和边界条件（1.2）的非零特解。 所谓函数 u(x,t) 具有变量分离形式, 是指它可表示为 (1.5) (I) 将（1.5）代入方程（1.1）得到 即 (1.6) (1.6)式中,左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能是常数，记为 。从而有 将（1.5）代入方程（1.2）得到 由于 在 [0,L]不恒等于0，所以 (1.7) (1.9) (1.8) (1.10) 特征值问题 这是一个二阶线性常微分方程的两点边值问题． 问：是否存在参数　 的一些值，使得该两点问题有非零解？ (1.7) (1.10) I.1 一定是它的解（平凡解)． 这样的一类问题称为特征值(本征值)问题． 特征值（本征值）：使得上述问题有非零解的参数　 ． 特征函数（本征函数）：与特征值　 相应的非零解． 具体求解 情形（A） 情形（B） (1.7)的通解为 由(1.10)，可推出 只有零解。 (1.7)的通解为 由(1.10)，可推出 只有零解。 (1.7) (1.10) 情形（C） 方程的通解为 由边界条件X(0) = 0推出 再由 知道为了使 必须 于是有 这样就找到了一族非零解 特征值 特征函数 (1.11) (1.12) 正是傅里叶正弦级数的基本函数族． 由此，就得到方程（1.1）满足边界条件（1.2）的变量分离的非零特解 代入　　　　　　 得 (1.13) 其通解为 I.2 把 (II) 特解的叠加 一般来讲，前面求出的特解不满足初始条件。我们需要对它们做适当的线性组合，以得出(1.1)-(1.4)的解．也就是说，要决定常数　　 ，使 (1.14) (1.15) (1.16) 满足(1.1)-(1.4)． 　　假设(1.14)中的函数级数可以对x和t逐项求导两次，则u(x,t)必满足(1.1)-(1.2)，并且条件(1.3)和(1.4)可改写为 因此，当 为 正弦展开的 Fourier (1.17) (1.18) 这样，在前面的假设下，我们给出了混合问题(1.1)-(1.4)的解(1.14)，其中系数由公式(1.17)和(1.18)给出。 在[0, L]区间上满足 Dirichlet 条件 时，可取 上述解PDE的方法称为分离变量法。 级数的系数，即 分离变量法的解题步骤 第一步 第二步 第三步 令 适合方程和边界条件， 从而定出 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及 适合的常微分方程。 特征值问题 求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应的 的表达式。 将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。 令 是齐次方程和齐次边界条件的非零解 则有 故有 其中 情形（A） 时．方程的通解为 由边值条件，有 即方程只有零解。 例3．求解下面的特征值问题． 解． 由 ，可得　　　　　　. 情形（B） 时．方程的通解为 由边值条件，有 即方程只有零解。 情形（C） 时．方程的通解为 可知 由 由边界条件u(0) = 0推出 为使 必须 由此，可得特征值为 从而 对应的特征函数为 例4、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一 端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不 变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。 边界条件： 初始条件： (2) 分离变量： (3)、求解本征值问题： X=0,l 时 x=0, l 时 则有 则必有 （k=0,1,2……） 故有： 本征解 （4）、通解中常数确定 分离变量法的解题步骤 第一步 第二步 第三步 令 适合方程和边界条件， 从而定出 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及 适合的常微分方程。 特征值问题 求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应的 的表达式。 将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。 分离变量法也适用于laplace方程 例5 解 若λ0，