高等工程数学 向量范数与矩阵范数.pptx

矩阵分析就是研究矩阵的函数、极限、微分、积分等所谓分析性质极限的引入依赖“距离”、“长度”等几何概念如果 V 是内积空间, ? ? ?V 则可定义长度在一般的线性空间中怎样引进“长度”概念?？且回忆“长度”的本质特征(1)非负性(2)齐次性(3)？三角不等式与之对应(1)正定性且(2)齐次性则称 为线性空间 V 中向量 ? 的范数.(3)三角不等式线性空间 V 称为线性赋范空间,记为向量范数定义 设 V(F) 为线性空间, 若? ? ?V 存在一个实数，且满足条件正定性、齐次性、三角不等式称为范数三公理三角不等式的一个等价表示有故有有证(2)故范数函数.是坐标 的连续函数.例 设 V(F) 是内积空间, ? ? ?V 定义范数则 V 是线性赋范空间.例 定义则 是线性空间 上的内积,即 是赋范空间.则 是线性空间 上的内积,即 是赋范空间.例 定义可见同一赋范空间上的范数不唯一！定义都是范数.可验证例(1-范数)(2-范数)( p-范数)柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式闵可夫斯基(Minkowski)不等式, 令 则有分析 记定义重点研究一下 p -范数当 p ? ? 时 是否存在？？，称为?-范数.例 考虑一般的线性空间 任取 的基有唯一表达式则 是上的2-范数.下 与 同构,即故利用同构可用 中的“长度”来定义 中的范数.定义坐标范数由 CH1§1中知：在映射例 取线性空间中的不同范数之间有什么关系?线性空间中的范数是否唯一?中的不同范数之间有没有等价关系?？？？答 不唯一！, 则有例如，一段 5 厘米长的线段,它的长度可以是特点 这些长度是等价的，相互可以换算.例 任两个实数之间的 关系线性空间中两向量线性无关是否是等价关系？线性空间中两向量线性相关是否是等价关系？什么叫等价?？？？有若集合 S 上的关系“ ”满足则称“ ”为集合 S 上的等价关系.(1)自反律等价三定律(2)对称律(3)传递律例 数域上的相等关系是等价关系例 平面几何中三角形之间的相似关系是等价关系.？非等价关系.？定义 设是 中任意两种范数, 若存在常数 使得 有 则称范数 与等价,记为范数的等价是：? 等价关系 ? 非等价关系范数的等价性？证 (2)对称律 设 即有由定义即知范数 与 等价.又设 是 任一范数，若能证明任意两种范数都是等价的猜测分析 由前例可知任取 的基可定义2-范数则由等价关系的传递性知 中任何范数都等价.即只要证明存在正常数 m 及 M, 使得证考虑函数则 是 的连续函数.故 在单位闭球面上可取到最小值 及最大值 即有即有定义 设是 中任意两种范数, 若存在常数 使得 有 则称范数 与等价,记为回顾范数等价的定义定理 中任意两种范数 都等价.例 验证中范数 是等价的.即即又由等价关系的传递性,知证, 则有又由怎样定义矩阵范数？分析 如果将 A“拉直”,则可将 A 视为 中向量矩阵范数？按列拉直按行拉直m?n矩阵拉直是 C? C的线性变换 mn怎样定义矩阵范数？分析 如果将 A“拉直”,则可将 A 视为 中向量矩阵范数？？将 A“拉直”后则有这样定义矩阵范数行不行？为什么不行？答 不行！(2)回忆内积的一个重要公式:有例 设？分析(1)将 A 拉直后无法反映 A 的行、列特性范数对于“积”的相容性, 则可见将 A 拉直后的范数 对乘法(积)缺乏相容性将 A 拉直后视为列向量定义矩阵范数为啥不行？中满定义 设分别是有足范数公理的范数，若则由前例可知Frobenius范数则称这三种范数是相容的矩阵范数.例是不相容的矩阵范数. 而容易证明 是相容的矩阵范数. 中满定义 设分别是有足范数公理的范数，若定义 设 均为线性赋范空间,有 若 上的矩阵范数 满足 矩阵范数要满足的条件：则称矩阵范数 与向量范数是协调的.则称这三种范数是相容的矩阵范数.(1)正定性 (2) 齐次性 (3)三角不等式 (范数公理) (4)相容性 (对矩阵的“积”) (5)协调性 (对向量的“积”)分析 设 分别是 上的向量范数 记是 的连续函数,故应在闭单位球面 注意则 应具有协调性, 即应有设 为矩阵范数.怎样定义矩阵范数 ？, 则有 ？故可取 上取到极大值.定义 称为矩阵 A 的(矩阵)诱导范数.诱导范数是否是矩阵范数?？(1)正定性 (2) 齐次性 (3)三角不等式 ？(4)相容性？(5)