北京大学出版社3.2线性方程组的求解及判定.pptVIP

* * * * 例5 解 说明：本过程省略没写，考试要有变换过程 在 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 容易找到一个非零3阶子式 常用的矩阵秩的性质 (1)0?R(Am?n)?min{m? n}? (2)R(AT)?R(A)? (3)若A～B? 则R(A)?R(B)? (4)若P、Q可逆? 则R(PAQ)?R(A)? (5)max{R(A)? R(B)}?R(A? B)?R(A)?R(B)? 特别地? 当B?b为列向量时? 有 R(A)?R(A? b)?R(A)?1? （6)R(A?B)?R(A)?R(B)? (7)R(AB)?min{R(A)? R(B)} (8)若Am?n Bn?l?O? 则R(A)?R(B)?n? 而R(E?A)?R(A?E)? 所以 R(A?E)?R(A?E)?n? 例8 设A为n阶矩阵? 证明R(A?E)?R(A?E)?n? 证明 因为(A?E)?(E?A)?2E? 由性质(6)? 有 R(A?E)?R(E?A) ?R(2E)?n? 例9 证明：若Am×nBn×l=C，且R(A)=n，则R(B)=R(C) 推论：若AB=0，且A为列满秩矩阵，则B=0 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 §3 线性方程组的解 线性代数 引例 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 克拉默法则 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 即 证明 因为|A|?D?0? 故A?1存在? 即x?A?1b? 根据逆阵的唯一性? 知x?A?1b是线性方程组的唯一的解向量? 先证解的存在性与唯一性? 再确定解的形式? 逆否命题 如果线性方程组 无解或有两个不同 的解，则它的系数行列式必为零. 定理：如果线性方程组（1）的系数行列式D不等于零，则其一定有解，且解是唯一的。 齐次线性方程组的相关定理 重要定理 ( ) 3 0 0 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 ? ? ? ? ? í ì = + + + = + + + = + + + n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L L L L L L L L L L L L L 对 定理 　 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 只有零解（没有非零解） 推论1　 如果齐次线性方程组 有非零解,则它 的系数行列式必为零. 设有n个未知数的m个方程的线性方程组 可以写成以向量为未知元的向量方程 Ax = b, 如果方程组有解,称方程组(1)是相容的, 如果方程组无解,称方程组(1)不相容. 线性方程组解得判定及求解过程 （1） 定理: n元线性方程组Ax = b (1)无解的充分必要条件是 R(A ) R(A,b ) ; (2)有唯一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b ) = n ; (3)有无穷多解的充分必要条件是R(A) = R(A,b ) n . 线性方程组的解的判定定理 克拉默法则拓展（方程个数和未知数个数相同的线性方程组） （1）方程有唯一解的充分必要条件是：行列式D不等于零。 （2）方程无解或方程有两个不同的解（无穷多的解）的充分必要条件是：行列式D等于零。 解: 复习：如何用初等行变换求解线性方程组的解 , 3 c x = 令 3 定理: n元线性方程组Ax = 0 （非齐次线性方程组的特例） （1）有唯一解（只有零解）的充分必要条件是R(A) = n ; （2）有无穷多解（有非零解）的充分必要条件是R(A) n . 齐次线性方程组的解的判定定理 定理: n元线性方程组Ax = b (1)无解的充分必要条件是 R(A ) R(A,b ) ; (2)有唯一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b ) = n ; (3)有无穷多解的充分必要条件是R(A) = R(A,b ) n . 克拉默法则拓展（方程个数和未知数个数相同的线性方程组） （1）方程只有零解的充分必要条件是：行列式D不等于零。 （2）方程有无穷多的解（有非零解）的充分必要条件是：行列式D等于零。 例 解 例 求解非齐次方程组的通解 解： 对增广矩阵B进行初等变换 故方程组有解，进而 将行阶梯化为行最简