北京大学量子力学讲.pptVIP

第 十 三讲 Ⅰ. 力学量算符的本征值和本征函数性质 A. 力学量的每一可取值都是实数（即本征 值）； B. 相应不同本征值的本征函数是正交的 C.Schmit正交化方法 如果一个本征值An对应S个线性无关的本征 函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通 过Schmit正交化方法来实现正交归一化 。 取 使 ； 取 ， 显然，保证 ，且 。 同样有 这必然有 ，且 D. 测量结果的几率 在 中测量力学量 取值 的几率为 E. 直接可观测的力学量的本征函数构成 一完备组。 如 是力学量 的本征函数组，则任 一波函数可以以 展开 Ⅱ.连续谱本征函数“归一化” （1）连续谱本征函数“归一化” 连续谱正交归一化的本征函数 应 使其有 “正交归一”的动量本征函数为 “正交归一”的坐标本征函数 而由 由这可见（如 已归一化）， 为测量 取值在区域 中的几率。 (2) δ函数 A. δ函数的定义和表示 δ函数不是一般意义下的函数，而是 一分布。但习惯上仍将它看作一函数。 其重要性和意义在积分中体现出来； 它可用一函数的极限来定义。 ab 事实上 我们已一些δ表示式（作为函数参量极限） B. δ函数的性质 它们在积分中出现时，左边表示可被右 边表示代替。 ☆ ☆ ☆ 推论：如有方程A＝B，则 例 所以 ， 由于 对于 a, b都大于零或都小于零，两式相等； 但a0, b0或a0, b0,则两式不等，从而可定出c，即 ☆ ☆ 若 ，但 ，即不是重根。 ☆ ☆ C. δ函数的导数 δ函数具有任何级的导数，可以证明 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 例：求 之解. 因 , 所以特解是 而相应齐次方程是 有解 。 从而得通解 事实上 应特别注意 （3）本征函数的封闭性 已经讨论过厄密算符本征态的正交，归一 和完备性，即 （正交，归一） （完备） 对于连续谱 现来讨论本征函数的封闭性 所以 由此可见， 上述表示式称为本征函数的封闭性，它表明 本征函数组可构成一δ函数 。 例1 的