协方差和相关系数过程稿.pptVIP

* * § 5.3 协方差和相关系数 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 这说明对于二维随机变量，除了每个随机 变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有 某种联系. 问题是用一个什么样的数去反映这 种联系. 数 反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系 定义 称 为X ,Y 的协方差. 记为 称 为（X , Y ）的协方差矩阵 可以证明协方差矩阵为半正定矩阵 协方差和相关系数的定义 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称 为X ,Y 的 相关系数，记为 事实上， 若 称 X ,Y 不相关. —— 利用函数的期望或方差计算协方差 若 ( X ,Y ) 为离散型， 若 ( X ,Y ) 为连续型， 协方差和相关系数的计算 求 cov (X ,Y ), ?XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P 例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?12,?2,?22,?), 求 ?XY 解 若 ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?12, ?2, ?22, ?), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关 例3 设? ~ (0,2?) , X = cos ? , Y = cos( ? +? ), ? 是给定的常数，求 ?XY 解 若 若 有线性关系 若 不相关， 但 不独立， 没有线性关系，但有函数关系 例4 设 X ,Y 相互独立，且都服从 N (0,? 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 为常数，且都不为零，求?UV 解 由 而 故 继续讨论：a , b 取何值时， U , V 不相关？ 此时， U , V 是否独立？ 但 U ~ N ( 0, 2a2? 2 ), V ~ N ( 0, 2a2? 2 ), 若 a = b，?UV = 0, 则 U , V 不相关. 且U ,V 相互独立 协方差的性质 当D(X ) 0, D(Y ) 0 时，当且仅当 时，等式成立 —Cauchy-Schwarz不等式 协方差和相关系数的性质 证 5 令 对任何实数 t , 即 等号成立 有两个相等的实零点 即 又显然 即 即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性 关系为 完全类似地可以证明 当E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 时，当且仅当 时，等式成立 相关系数的性质 Cauchy-Schwarz不等式 的等号成立 即Y 与X 有线性关系的概率等于1， 这种线性关系为 若X , Y 是两个随机变量，用X 的线性函数去 逼近 Y 所产生的平均平方误差为 当取 平均平方误差最小. X , Y 不相关 X , Y 相互独立 X , Y 不相关 若 X , Y 服从二维正态分布， X , Y 相互独立 X , Y 不相关