协方差相关系数过程稿.pptVIP

4.3 协方差 相关系数 一、 协方差的定义 二、 协方差的性质 三、相关系数的定义 四、 相关系数的性质 * 一、 协方差的定义 二、 协方差的性质 三、相关系数的定义 四、 相关系数的性质 对于二维随机变量(?，?)来说，数学期望E?，E?仅仅反映了?与?各自的平均值，而方差D?，D?也仅反映了?与?各自离开均值的偏离程度，它们没有提供?与?之间相互联系的任何信息。 而事实上，从前面的二维随机变量(?，?)联合分布律或联合概率密度的讨论，我们知道?与?之间是存在着密切联系，因此，我们也希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系。 这便是本节要讨论的问题。 在方差性质4的证明中，我们已经发现当?与?独立时，必有 也就是说，当 时， ?与?肯 定不独立，由此说明式 在一定 程度上反映了?、?间的某种联系。 由定义可知，在离散型场合下的协方差是通过和 式来表示的，即 在连续型场合下的协方差是通过积分来表示的，即 特别，当?=?时，有 注：?与?独立是式 D(?+?)=D? +D? ，E(??)=E?·E? 成立的充分条件，上两式成立的充要条件是 Cov(?，?)=0。 (2) Cov(?，?)=E(??)-E(?)E(?)； 我们常利用这一式子计算协方差。 (3) Cov(?，?)=Cov(?，?)； (5) Cov(?1+?2，?)=Cov(?1，?)+Cov(?2，?)。 协方差的数值虽然在一定程度上反映了?与?相互间的联系，但它还受?与?本身数值大小的影响。 譬如说，当?，?各自增大k倍，即?1= k ?，?1= k?，这时?1与?1间的相互联系和?与?间的相互联系应该是一样的，但事实上由性质4知： （4）Cov(a?，b?)=abCov(?，?) ； a，b?R 即表明协方差增大了k2倍。为克服这一个缺点，引入下面的所谓相关系数的定义。 顾名思义，相关系数反映了随机变量?与?之间的相互关系——也就是它们相互之间的一种联系。 但到底是哪一种联系呢？这是需要进一步弄清的问题。 引理 设(?，?)是一个二维随机变量，若E?2 ， E?2存在，则有 证 考虑一个关于实变量t的二次函数 因此，二次方程g(t)=0的判别式非正，即有 上述不等式通常称为柯西—许瓦兹(Cauchx—Schwarx)不等式。由这个不等式立即可得： 所以，当二维随机变量(?，?)的两个分量具有方差时，它们间的协方差必定存在，当然相关系数也一定存在。 现在来证明???的两个重要性质，并由此说明???的意义。 定理2 设(?，?)是二维随机变量，它们的相关系数???存在，则 (2) |???|=1的充分必要条件是?与?以概率1线性相关。即存在常数a、b，使得 证 (1)令 则对?1，?1运用上式有 即有|???|≤1。 (2)由上式知|???|=1等价于 这相当于在引理证明中，二次方程g(t)=0有一个重根t0 。即有 再由方差的性质5即知上式成立的充分必要条件是 其中a=t0，b=E?－t0E?均为常数。 （2）特别，当??? =1时称为正线性相关，当时???=-1 称为负线性相关。当| ??? |1时，这种线性相关程度将 随着| ??? |的减小而减弱。当??? =0时，就称?和?是不 相关的。 （3）前面曾经指出，当?和? 独立时，若Cov(?，?)存 在，则必有Cov(?，?)=0，因而此时??? =0，此即表示 ?和?一定不相关。 注： （1）由定理的证明可以看出，相关系数???是衡量随 机变量间线性关系的一个度量。更确切地说，应该称 它为线性相关系数，只是因为大家习惯了，所以一直 称作相关系数。当| ??? |=1时，与之间依概率1存在线 性关系。 反之是否成立呢？回答是否定的，这可从下面的例子看出，与不相关并不能保证与的相互独立。 例1 已知随机变量?的分布律为 而?=?2。试证随机变量?与?不相关但并不相互独立。 证 ?与?不相互独立是显然的，因为?的值完全由 ?的值决定。 故?与?线性不相关。 从上述例子可以看出，不相关性和独立性是两个不同的概念。在一般情况下并不能从不相关性推出独立性。不过从下述例子可以看出，当(?，?)服从二维正态分布时，?与?的不