双曲线及其标准方程(北师大选修).pptVIP

* 椭圆是如何定义的?其标准方程是什么? 思考 与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆, 那么与两定点的距离的差是非零常数的点的 轨迹是什么样的曲线呢? 动手实践 这两条曲线合起来叫作双曲线,每一条叫作 双曲线的一支. 双曲线定义： 一般地,平面内与两个定点Ｆ１，Ｆ２距离的差的绝对值等于常数（小于︱Ｆ１Ｆ２ ︱ ）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点Ｆ１,Ｆ２叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．　 M F2 F1 双曲线在实际生活中有广 泛的应用,如热电厂的冷却 塔的外形与轴截面的交线 等等. 分析推导 ︱MF1-MF2︱=2a(02aF1F2) x o M y F2 F1 1. 建系设点; 2. 写出适合条件的点M的集合； 3. 用坐标表示条件，列出方程； 4. 化简. 求曲线方程的步骤： 方程的推导 (-C,0) (C,0) (x,y) 将上述方程化为： 移项两边平方后整理得： 两边再平方后整理得： 由双曲线定义知： 即： 设 代入上式整理得： F 2 F 1 M x O y O M F2 F1 x y a.b.c的关系 焦 点 方 程 定 义 x2 a2 - y2 b2 = 1 x2 y2 a2 + b2 =1 F（±c，0） F（±c，0） a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2 ab0，a2=b2+c2 ||MF1|－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a x2 a2 + y2 b2 = 1 椭 圆 双曲线 y2 x2 a2 - b2 = 1 F（0，±c） F（0，±c） 双曲线与椭圆之间的区别与联系： 例2 已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上的两点P1(3, ),P2( ,5),求双曲线的标准方程. 分析 已知双曲线焦点的位置,可知双曲线标准方程的形式,利用曲线上的点,其坐标满足方程,从而建立a,b的方程,求出a,b. 解 因为双曲线的焦点在y轴上,所以设标准方程为 因为P1,P2在双曲线上 所以 解得,a2=16,b2=9 所以所求双曲线方程为 设有定点F1(3,0)和定圆F2：(x+3)2+y2=16,今有一动圆M和定圆F2外切,并且过点F1,求动圆圆心M的轨迹方程. 分析 因为圆心与圆上一点的距离是半径,又两圆外切有半径和为圆心距,可知|MF2|-|MF1|=4,从而有M的轨迹是双曲线的一部分. 解 设动圆M的半径为r, 因为圆M过F1,所以|MF1|=r, 又因为圆M与圆F2外切,所以|MF2|=4+r. 从而有|MF2|-|MF1|=4 由双曲线的定义知M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的一部分.又F1(3,0)F2(-3,0). 所以c=3,a=2,故b2=5 所以M的轨迹方程是 课堂练习