极值和极值点的概念初步.PPTVIP

* 2.6.1 极值和极值点的概念 　定义2.6 设函数 y = f(x) 在 x0 的一个邻域内有定义， 若对于该邻域内异于 x0 的 x 恒有 (1) f (x0) f (x)， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极大值， x0 称为 f (x) 的极大值点； (2) f (x0) f (x)， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极小值， x0 称为 f (x) 的极小值点； 函数的极大值、极小值统称为函数的极值， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　极大值点、极小值点统称为极值点. 2.6 函数的极值和最大（小）值及其求法 　　显然，在图中， x1，x4 为 f (x) 的极大值点， 　　　　 x2，x5 为 f (x) 的极小值点. y = f (x) y x O x1 x2 x3 x4 x5 y y= f ( x ) x 0 再看下面函数曲线： 极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而 是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就不一定 大于极小值． 如P41书上图2-5 定理 2.6 1 (极值的必要条件) 　　设函数 y = f (x) 在 x0 处可导， 　　　　　　　　　　　　　　　　且 f (x0) 为极值(即 x0 为值点)，则 f ?(x0) = 0. 即函数的极值点必为驻点或不可导点 　　2 (极值的第一充分条件) 　　设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内可微(在 x0 处可以不可微，但必须连续)， 　　　　　　　　　　　　　　若当 x 在该邻域内由小于 x0 连续地变为大于 x0 时， 　　　　　　　　　　　　　　　其导数 f ?(x) 改变符号， 则 f (x0) 为函数的极值. x0 为函数的极值点， 并且 (1)若导数 f ?(x) 由正值变成负值， 　　　　　　　　　　　　　　　　　则 x0 为极大值点， f (x0) 为 f (x) 的极大值； (2)若导数 f ?(x) 由负值变成正值， 　　　　　　　　　　　　　　　　　 则 x0 为极小值点， f (x0) 为 f (x) 的极小值. 　　3　( 极值的第二充分条件 ) 　　(1)当 f ?(x0) 0 时，则 x0 为极小值点，f (x0)为极小值； 　　(2)当 f ?(x0) 0 时，则 x0 为极大值点，f (x0)为极大值. 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　若 f ?(x0) = 0，且 f ?(x0) ? 0， 　　　　　则 x0 是函数的极值点，f (x0) 为函数的极值， 并且 　　设函数 y = f (x) 在 x0 处的二阶导数存在， 运用定理 2.6 求函数极值的一般步骤是： 　　(1)确定定义域，并找出所给函数的驻点和导数不存在的点； (2)考察上述点两侧一阶导数的符号(或考察上述点的二阶导数的符号)，确定极值点； (3)求出极值点处的函数值，得到极值. 补充例题1. 求f (x)=x3?3x2?9x+5的极值. 解: f (x)=3x2 ? 6x ? 9 =3(x+1)(x?3) 令f (x)=0 解得驻点 x1= ? 1, x2=3 x = ? 1: x?1时 f (x)0. x1时 f (x)0 x=3: x3时 f (x)0. x3时 f (x)0 ? 极大值f (?1)=10. ? 极小值 f (3)= ?22. 补充例题2. 求 f (x)= 的极值 解: x 0时, f (x)0, x 0时, f (x) 0 故得 极小值f (0)=0 x y 0 补充例题3. 求 的极值. 解: f (x) 以2? 为周期，故考虑区间[0, 2? ) 令 f (x)=cosx?sinx = 0 又 有 得驻点 由定理2.6知 由周期性知 分别为 f (x) 的极大值点和极小值点. 补充例 题4　求函数 f (x) = (x - 1)2 (x - 2)3 的极值. 解　(1)定义域为 (- ?,+ ?). f ?(x) = (x - 1) (x - 2)2 (5x - 7). 所以由 f ?(x) = 0 可得 f (x) 的三个驻点： 该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义区间分为四个子区间 (2) 当 x ? (