概率分布方法建立模型(经济数学建模-西安交通大学,戴雪峰).pptVIP

2、分析与假设： 3、建模与求解： 设每天收入用g(n)表示，G(n)表示其平均收入，问题归纳为在 已知时,求n使G( n ) 最大。 2、分析与假设： 3、模型假设： 4、建模求解： 2、分析与假设： 3、建模与求解： 建模的关键是选择合适的目标函数，很自然的想法就是以两部分浪费之和作为目标函数，使得平均浪费最少。 总的浪费的平均长度为W 但是，轧钢的最终产品是成品材，浪费多少不应以每粗轧一根的平均浪费为标准，而应以每得一根成品材的平均浪费为标准，所以目标函数应改为 目标函数可以等价地取 数学模型：求m，使W2(m)达到最小。 用微分法求W2(z)的极值 最优值z*应满足(4)。 日常生活中类似的问题： 例1：包装机包装产品，重量随机，方差已知，重量服从正态分布，出厂时，精确检验重量，超过500克，按500克出售，不足500克，重新包装或报废，问如何调整包装机的包装重量，使得厂方损失最小？ 例2（难以用数量描述的类似问题）：从家出发去车站赶火车，由于随机因素，到达车站的时间随机，但平均时间可控，到达得早，时间浪费，到达得晚，就赶不上火车。问如何权衡，决定出发时间，使浪费最小？ 五、 设备检查方案 1、问题： 工厂定期要对设备进行检查，以便及时发现和排除故障，设备出现故障的时刻是随机的，而一旦发生故障，设备带故障运行到下一次检查才被发现，会造成损失；另一方面，每次检查要支付一定费用。问题是建立一个随机优化模型，确定检查周期，使总的平均费用最小。 2、分析与假设： 3、建模与求解： 目标：求s(t)使设备在一次运行（两次故障之间的时间）中总的平均费用最小。 总费用的平均值为 （这是一个泛函极值问题，求解略。） 求使达到最小。 六、 零件的预防性更换 1、问题：长期运行的零件，会突然发生故障或损坏，即使及时更换也已造成损失，如果在零件运行了一定时间后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失。这样做从经济上是否合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定？ 2、分析与假设： 问题关键在于恰当估计零件能够正常运行的时间(使用寿命)。 通过实验数据的统计处理和理论分析，可以确定零件寿命的分布函数、概率密度和平均寿命等数字特征。 1）两个基本概念(可靠度与失效率) 设零件t时刻仍然正常，则它在[t,t+⊿t]内失效的概率为 如何求失效率r(t)呢？在实际应用中让N个零件同时运行，记n(t)为时刻t以前失效的个数，⊿n(t)为这个单位时间内失效的个数，则 r(t) 典型的失效率曲线成浴盆形状 早期失效期 偶然失效期 老化失效期 t o 2）常见的寿命分布 （1）指数分布：设失效率为常数 * * 数学建模 西安交通大学理学院 戴 雪 峰 E-mail: daixuefeng@mail.xjtu.edu.cn 概率分布方法建立模型 一、报童的诀窍 （单周期随机库存模型） 1、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将剩余的报纸退回报社，那末他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。 ①每份报纸进价为b，零售价为a，退回价为c（自然假设abc）。 ②需求量r为随机变量，假定报童已知 每天需求r份的概率为f ( r ) ( r = 0 ,1,… )，为便于分析和计算将需求量视为连续型变量，这时f ( r )转化为概率密度p ( r )。 ③假定每天购进报纸n份, 因报童收入为随机的。所以优化模型的目标函数是长期卖报的日平均收入(每天收入的期望值)。 以上表明：购进的份数n 应该使卖不完与卖完的概率之比恰好等于卖一份赚的钱与退回一份赔的钱之比。显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚与赔的比越大，报童购进的份数就应越多。 二、周期性盘点（多周期随机库存模型） 1、问题： 商店在一周中的销量是随机的，周末根据存货多少决定是否订货。一种简单策略：制定一个上、下界S 和s 。当周末存货≥s就不订货，当存货＜s时就订货，并使下周初存量达到S。问题就是如何确定s、S，使得策略最优。 ②策略的优劣是以总费用为标准。 ③为了叙述方便，时间以周为单位，商品以件为单位。 ④每次订货费为c0（与数量无关），每 件商品进价为c1，每件商品一周存储费为c2，每件商品的缺货损失费为c3（c3相当于售出价格，c1c3）。 ①为使问题简单，只考虑费用（订货费、存储费、缺货费、购进商品价值）。 ⑤一周的销售量r是随机的，r的取值较大， 为方便可视为连续型随机变量，其概率密度为p(r)。 ⑥周末的存货量为x，订货量为u，并立即到货。于是，周初的存货量为x+u。 ⑦一周的销售是集中在周初进行（当期售出的货物不计存储费，