概率论与数理统计二学习.PPTVIP

第二章随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 一维随机变量函数的分布 二维随机变量的联合分布 多维随机变量的边缘分布与独立性 条件分布 多维随机变量函数的分布 关于随机变量的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量 2.1随机变量的概念 定义. 设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、、等表示。 随机变量的特点: 1 X的全部可能取值是互斥且完备的 2 X的部分可能取值描述随机事件 EX．引入适当的随机变量描述下列事件： ①将3个球随机地放入三个格子中， 事件A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球}。 ②进行5次试验，事件D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次} 随机变量的分类： 随机变量 2.2离散型随机变量及其分布 定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称X为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或… X x1 x2 … xK … Pk p1 p2 … pk … (1) pk  0, k＝1, 2, … ; (2) 例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。 解 k可取值0，1，2 2. 分布律的性质 例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。 解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1,A2,…A5,相互独立且 P(Ai)=p,i=1,2,…5. SX={0,1,2,3,4,5}, (1-p)5 ·几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 1. (0-1)分布 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布) X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0p1) k＝0，1 或 若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n, p的二项分布。记作X~B（n, p),其分布律为： 2.定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验. 例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为: 例4. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。 泊松定理 设随机变量Xn ~ B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则 解 设X表示400次独立射击中命中的次数， 则X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=… 上题用泊松定理 取 =np＝(400)(0.02)＝8, 故 近似地有 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－(1＋8)e－8＝0.996981. （二. ） 泊松(Poisson)分布P() X～P{X＝k}＝ , k＝0, 1, 2, … (0) 泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布 例5.设某国每对夫妇的子女数X服