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ch72 无偏 由此可断言：在99%的置信度下，嗜酒 母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒 的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要 低 2.09 到 39.91. Ch7-* §10.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (3) 一致性 (2) 有效性 §10.2 若 则称 是? 的无偏估计量. 无偏性 定义 我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等. 定义的合理性 是总体X 的样本, 证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 是 的无偏估计量. 证 例1 设总体X 的 k 阶矩 存在 因而 由于 例1 则 特别地 样本二阶原点矩 是总体 是总体期望 E( X ) 的 样本均值 无偏估计量 的无偏 二阶原点矩 估计量 例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 (n 1) . (1) 不是 D( X )的无偏估量; (2) 是 D( X ) 的无偏估计量. 证 前已证 证明 例2 因而 故 证毕. 例3 设 是总体 X 的一个样本 , X~B(n , p) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质, 只要将未知参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量. 令 例3 因此, p 2 的无偏估计量为 故 例4 设总体 X 的密度函数为 为常数 为 X 的一个样本 证明 与 都是 的无偏 估计量 证 故 是? 的无偏估计量. 例4 令 即 故 n Z 是? 的无偏估计量. 都是总体参数? 的无偏估计量, 且 则称 比 更有效. 定义 设 有效性 有效 所以, 比 更有效. 是? 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？ 由例4可知, 与 都 为常数 例5 设总体 X 的密度函数为 解 ， 例5 例6 设总体 X，且 E( X )=? , D( X )=? 2 为总体 X 的一个样本 证明 是 ? 的无偏估计量 (2) 证明 比 更有效 证 (1) 例6 (1) 设常数 (2) 而 结论 算术均值比加权均值更有效. 例如 X ~ N( ? ,? 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本. 都是? 的无偏估计量 由例6(2) 知 最有效. 罗—克拉美（Rao – Cramer）不等式 若 是参数 ? 的无偏估计量, 则 其中 p ( x , ? ) 是 总体 X 的概率分布或密 度函数，称 为方差的下界. 当 时, 称 为达到方差下界的无偏估计量, 此时称 为最有效的估计量, 简称有效估计量. 例7 设总体 X 的密度函数为 为 X 的一个样本值. 求? 的极大似然估计量, 并判断它是否达到 方差下界的无偏估计量. 为常数 解 由似然函数 例7 ? 的极大似然估计量为 它是? 的无偏估计量. 而 故 是达到方差下界的无偏估计量. 定义 设 是总体参数? 则称 是总体参数? 的一致(或相合)估计量. 的估计量. 若对于任意的? ? ? , 当n? ?时, 一致性 依概率收敛于? , 即 一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性. 一致 关于一致性的两个常用结论 1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量. 是? 的一致估计量. 由大数定律证明 用切贝雪夫不 等式证明 矩法得到的估计量一般为一致估计量 在一定条件下, 极大似然估计具有一致性 2. 设 是 ? 的无偏估计 量, 且 , 则 例8 为常数 则 是? 的无偏、有效、一致估计量. 证 由例7 知 是? 的无偏、有效估计量. 所以 是 ? 的一致估计量