概率随机变量的函数的分布.pptVIP

随机变量的函数 是一个这样的随机变量，若 随机变量Y 满足： Y=g(X) 则称随机变量Y 是X 的随机变量的函数。 课堂练习： 加油站代营出租车业务，每出租1辆车收入3元。该油站每天要付出60元工职。每天出租汽车数X的分布律如下： 【例】 已知随机变量X～ N(0,1)。 【例】已知随机变量X～ 【例】 设随机变量 ，证明 设 r.v. 服从(0,1)内均匀分布, 又 其中 求 r.v. 的 p.d.f. 问 题 思考题： 设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,设 Y = g(X) 是连续型的随机变量吗? 思考题答案： 否. ∵Y 在[0,1]上取值, Y 的分布函数为 不是连续函数,∴Y 不是连续型的随机变量. 又∵Y 的取值不是有限个或可列个,∴ Y 也不是离散型的随机变量. Y 是一个非离散非连续型的随机变量. 1.设离散型随机变量 X 的分布律为 练习题： 求: (1) X + 2 ; (2) 的分布律. 2.若 X 服从 上的均匀分布,求Y = tanX 的密度函数. 3. 对圆的直径作近似度量,设其值均匀分布于(a,b)内,试求圆的面积的密度函数. 4. 设随机变量 X 的密度函数为 求 的分布函数 和密度函数 . 5. 随机变量X 服从参数为θ的指数分布,求 Y = 1/X 的概率密度. 6. 设随机变量 X 服从参数为p 的几何分布,即 求: 的分布律. 1. (1) (2) 练习题答案： 3. 解: 设圆的直径为随机变量D, 圆的面积 4. 解法一 (分布函数法) X 的取值范围是(-1,1), Y 的取值范围是[1,2), 解法二 (公式法) 在(-1,0)上单调减少, 在(0,1)上单调增加, 再求Y 的分布函数, Y 的分布函数为 6. 解：随机变量Y 的取值是-1,0,1 至此，我们已初步介绍了两类重要的随机变量: 离散型r.v和连续型r.v（r.v表示随机变量） 能不能对它们给出一种统一的描述方法？ f (x) x o x P(x) o 对它们分别用概率函数和密度函数描述 . 比如，某厂的电机的噪声电压V 的密度分布： 求功率 W=V2/R (R 为电阻)的分布. 在实际应用中，人们常常对随机变量的函数感兴趣. §2.4 随机变量函数的分布 在许多实际问题中, 常常需要研究随机变量的函数, 例: ☆测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积： d为随机变量, S 就是随机变量d的函数。 的分布。 ☆ 在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能： 一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。 随机变量的函数 随机变量 分布函数 密度函数 设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件 设 r.v. X 的分布律为 由已知函数 g( x)可求出 r.v. Y 的所有可能取值，则 Y 的概率分布为 离散型 r.v.函数的分布 　设X为离散型 R．V, 其分布律为 X x1 x2 x3 ．．．．．．． xn．．．． pk p1 p2 p3 ．．．．．．．pn．．．． 随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为 Y g( x1) g( x2) g( x3)．．．．． g (xn)．．．． pk p1 p2 p3 ．．．．． pn．．．． 有可能g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加． 离散随机变量的函数的分布 【例】已知 X 的概率分布为 X pk -1 0 1 2 求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律 【例】 已知 X 的概率分布为 其中 p + q = 1, 0 p 1, 求 Y = Sin X 的概率分布 解 故 Y 的概率分布为 Y pi -1 0 1 0.15 0.45 0.25 0.15 P 40 30 20 10 X 求加油站获利的概率。 方法： （1）从分布函数出发 （2）用公式直接求密度函数 连续性 r.