正弦函数余弦函数的函数的周期性.pptVIP

⑵y=sin2x,x∈R; ∵sin2(x+π)= ∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为π ⑶y=2sin( - ),x∈R; 练习2 周期求法： 1.定义法： 2.公式法： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 作业：P36练习 P46：A组 3 B组 3 证明：函数f(x)的周期是T， 则 f(x+T) = f(x)对定义域内的任何x都成立 设 g(x) = f(ωx) 则 g(x + T/ω)= f[ω(x + T/ω)] = f(ωx + T) = f(ωx) = g(x) 这说明了函数g(x)以 T/ω 为周期 即 函数 f(ωx) 以 T/ω为周期。 设函数y=f(x)是以T为周期的周期函数，试证函数y=f(ωx)(ω0)是以T/ω为周期的周期函数 * 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时 问题提出 问题.根据正弦函数和余弦函数的图象,你能说出它们具有哪些性质？ y -1 x O 1 π 2π 3π 4π 5π 6π -2π -3π -4π -5π -6π -π y=sinx x y O 1 -1 y=cosx 根据正弦函数和余弦函数的定义域为R,值域是[-1,1] 一、周期函数的概念 思考1:观察上图,正弦曲线每相隔 个单位重复出现. y -1 x O 1 π 2π 3π 4π 5π 6π -2π -3π -4π -5π -6π -π y=sinx 2π 诱导公式sin(2kπ+x）=sinx 其理论依据是什么？ 诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义． x y o X X+2π X X+2π 正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 当自变量x的值增加2π的整数倍时,函数值重复出现.数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律 思考2:设f(x)=sinx,则sin(x+2π) =sinx用符号语言可以怎样表示？ f(x+2kπ)=f(x) 这就是说：当自变量x的值增加到x+2kπ时，函数值重复出现. 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈z且k≠0). 思考3:把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么,一般地,如何定义周期函数呢？ 周期函数的定义:对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期. 思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？ 答:周期函数的周期不止一个. ±2π,±4π,±6π,…都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期. 周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期. 已知f(x+T)=f(x) (T≠0)， 求证:f(x+2T)=f(x)． 证明：因为T是f(x)的周期， 所以f(x+T)=f(x)， F[(x+T)+T]=f(x+T)， 即f(x+2T)=f(x)． 因此2T是f（x）的周期． 这个命题推广可得到什么结论？ 2T，3T，…，nT（n∈Z）也都是f（x）的周期． 如果一个函数是周期函数,所有的周期就构成一个无穷集合． 最小正周期: 今后本书中所涉及到的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期. 思考5：周期函数是否一定存在最小正周期？ 例如：f(x)=c (c为常数） 否 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数’非零常数T就叫做这个函数的周期. 最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 答：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2π 思考6：我们知道 ±2π，±4π，±6π，…都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗？若有,那么最小正周期T等于多少？ 证明：假设存在T∈(0,2π)使得y=sinx对于任意的x∈R都成立 那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有 sin（x+T）=sinx． 这与T∈(0,