清华微积分(高等数学)一讲实数与函数.pptVIP

[问题] 如何定义无界函数？ [例] （三） 复合函数与反函数 定义： 1. 复合函数 例 则有 则有 则有 所以, 不能构成复合函数 因为 2. 反函数 在函数定义中，要求函数是单值的，即 * 欢迎你！ 清华园的 新主人 微积分 E-mail: xylu@math.tsinghua.edu.cn 讲课教师 陆小援 Tel: 参考书目： 1. 《高等数学教程》 施学瑜 清华大学出版社 3. 《一元微积分》 萧树铁 主编 高教出版社 4. 《微积分和数学分析引论》 第一卷第一、二分册 柯朗 科学出版社 2. 《高等数学》同济大学数学教研室主编（第四版） 高教出版社 作业 P11习题1.2 2. 4. P24习题1.3 1. 3. 4. 8. 10. 复习：P1—37 预习：P38—46 答疑时间地点： 理科楼 数学系 1111 交作业时间： 星期一 星期五 课后 一元函数 微积分 无穷级数 多元函数 微积分 常微分方程 引言 （一）上大学学什麽？ 珍惜时光 三个方面 学会自学 尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题 注重持续性学习： 有计划地安排学习 做人之道, 治学之方, 健身之术 学会向书本、老师、周围学 （二）学数学学什麽？ 数学的基本特征 抽象性 演绎性 广泛性 （研究对象） （论证方法） （应用） 假设 结论 logic 理性 思维 （三）这个学期学什麽？ 一元函数微分学： 利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质 极限及其理论 导数与微分及其理论 微分学应用 一元函数积分学： 不定积分 定积分概念及其理论 积分学应用 数项级数 第一讲 实数与函数 一、实数的重要性质 二、函数 因此了解掌握实数的基本性质对于学习微积分是必要的基础. 一、实数的重要性质 连续模型 建立在实数基础之上 （一）实数集的有序性 （二）有理数的稠密性 （四）实数集的界与确界 （三）实数集的连续性 予备知识 1.实数集 2. 邻域 (一) 实数集的有序性 有且仅有一个式子成立. 在做加法和乘法运算时,保持下列关系: 从数轴上看,实数是从小到大依序自左至右排列的 （二）有理数的稠密性 有理数集是实数集的一个子集 有理数在实数集中是稠密的 即在任意两个不同的实数之间,都有无穷多个有理数 这一点具有非常重要的意义 数轴上的点P （三）实数域的连续性 ——实数域 R 布满数轴 有空档！ 一一对应 问：有理数域布满数轴了吗？ 这是一个无理数 定义： (四)实数集的界与确界 1. 有界集 存在 对任意一个 例如： （1）自然数集合 （2）真分数集 定义： 例如： 没有最大值！ 2. 集合的确界 注意确界和最大值的区别 3. 实数的连续性刻画——确界公理 （1）如果非空实数集合有上界, 则 必有上确界. （2）如果非空实数集合有下界, 则 必有下确界. [定理] 有理数集与实数集性质的区别 在实数范围中的上确界 但是, 在有理数范围中 实数集是连续的,有理数集不是连续的 （1）如果实数集的子集有上（下）界,则必有上（下）确界. 但是,有理数集的子集有界,则未必有确界. [例如] 没有上确界 (2) 想象一个点在实数轴上作连续 运动 在每一个时刻这个点所处的位置 都是一个实数, 但不一定是有理数 二、函数 (一) 函数概念 定义： 存在唯一 函数的两个要素： 2.定义域 D 1.对应规则 f （二） 函数的代数属性 1. 奇函数与偶函数 2. 单调函数 3. 周期函数 [注意] 并不是所有的函数都有最小周期 例如：考察狄里克雷函数 4. 有界函数 定义： [例4] *