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1. 双曲函数的定义及性质 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切 双曲正割 双曲余割 双曲正弦、双曲余弦的图形 悬链线 双曲正弦函数的 定义域为 (??, ??) 双曲正弦函数 在其定义域内是单调增加的 双曲正弦函数是奇函数 双曲余弦函数的 定义域为 (??, ??) 双曲余弦函数 在(??, 0)内单调减少 在[0, ??)内单调增加 双曲余弦函数是偶函数 双曲正切、双曲余切的图形 y = cth x y = th x 双曲正切函数 定义域为 (??, ??) 双曲正切函数 是单调增加的且有界 | th x | ? 1 双曲正切函数是奇函数 2. 常用的公式 与三角函数的 公式进行比较 (1) 反双曲正弦函数 习惯上写成 x ? (??, ??)。 双曲正弦函数 y = sh x 是 (??, ??) 到 (??, ??) 的一一对应, 故它的反函数存在, 通过初等的代数运算可得 3. 反双曲函数 (2) 反双曲余弦函数 y ? [1, ??)。 双曲余弦函数 是 到 上的映射, 但不是一一对应。 由 解得 双曲余弦的反函数。 这里有两支, 单独来看, 这两支分别都可作为 y?[1, ??) 通常取 y?[1, ??)。 习惯上记为 x?[1, ??)。 并称该支反函数为反双曲余弦的主支。 通常所说的反双曲余弦函数即指此主支。 的反函数, 记为 类似于上面的作法, 可以得到 arth x , arcth x , arsech x , arcsch x 的表达式. 如何证明或判断函数无界？ 提一个问题： 证明或判断无界，通常依据: 函数 y = f (x) 在区间 I 上无界， 则不论 M 0 的值取得多么大， 总 使得 | f ( x0 ) | M 成立。 易知： 例10 解 在其定义域内是无界的。 故函数 在任何一个有限区间内有界。 3. 奇偶性 若? x ? Df , 有 f (? x ) = f ( x ) 成立，则称 f ( x ) 为偶函数。 偶函数的图形 关于 y 轴对称。 若? x ? Df , 有 f (? x ) = ? f ( x ) 成立，则称 f ( x ) 为奇函数。 奇函数的图形 关于坐标原点对称。 设函数 y = f ( x ) 的定义域 Df 关于坐标原点对称。 哪些是奇函数,哪些是偶函数: 指出下列函数在其定义域内 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 4) 既不是奇函数又不是偶函数 例11 定理 在关于坐标原点对称的区间 I 内： 两个偶(奇)函数之和仍是一偶(奇)函数。 两个偶(奇)函数之积均为一个偶函数。 一个偶函数与一个奇函数之积是一个奇函数。 定理 的形式。 在关于坐标原点对称的区间 I 内有 定义的任何一个函数 f ( x )，均可表示为 区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和 4. 周期性 则称 f ( x )为周期函数，? 称为函数 f ( x ) 设函数 y = f ( x ) , x ? (??, ??) 。 若存在 ? ? 0 , 对一切 x ? (??, ??) 恒有 y = f ( x ? ? ) = f ( x ) , 的一个周期。 如果一个周期函数有最小正周期 存在, 记为 则称 T 为周期函数的周期。 T = min { ? } , ? 0 通常所说的周期是 故称正弦函数 y = sinx 的周期为2? 。 ? = 2k? ( k ?Z 且 k ? 0) 均为函数 y = sin x 的周期, 而它的最小正周期为 T = min{ 2k? }= 2? k?Z+ 例12 截尾周期函数（最终周期函数）的定义： 请自己看书！ 请自己看书！ 请自己看书！ 请自己看书！ 三、基本初等函数 大家在中学就已熟悉它们了！ 以下六种简单函数 称为基本初等函数 1. 常值函数 y = C ( C 为常数 ) 2. 幂函数 y = x ? ( ? ? R 为常数 ) 3. 指数函数 y = a x ( a 0, a ? 1 ) 4. 对数函数 y = loga x ( a 0, a ? 1 ) 5. 三角函数 y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x 6. 反三角函数 y = arcs