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第3章 控制系统稳定性分析 教材： 王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2011 第3章 控制系统稳定性分析 系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。 本章首先介绍李雅普诺夫稳定性定义和系统稳定的条件，然后介绍李雅普诺夫稳定判据和非线性系统的克拉索夫斯基稳定判据。最后简要介绍非线性系统的小偏差线性化和李雅普诺夫第一法。动态特性。 第3章 控制系统稳定性分析 3.1 控制系统稳定性定义 3.2 控制系统稳定的条件 3.3 李雅普诺夫稳定判据 3.4 线性系统的李雅普诺夫稳定判据 3.1 控制系统稳定性定义 当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，系统的响应可能出现下列情况之一： (1)系统的自由响应是有界的； (2)系统的自由响应是无界的； (3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。 李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐近稳定的。 如系统不稳定，则系统响应是无界的，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是系统正常工作的首要条件。 李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。作为预备知识，下面首先介绍范数的概念。 3.1.2 平衡状态 3.1.3 李雅普诺夫稳定性定义 3.2 控制系统稳定的条件 3.2.1单变量线性定常连续系统稳定条件 3.2.2 多变量线性定常连续系统稳定条件 3.2.3 单变量线性定常离散系统的稳定条件 3.2.3 单变量线性定常离散系统的稳定条件 3.2.4 多变量线性定常离散系统的稳定条件 3.3 李雅普诺夫稳定判据 3.3.1 函数的正定性 3.3.1 函数的正定性 3.3.1 函数的正定性 3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据 若非线性连续系统的状态方程为 3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据 3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据 3.3.2 非线性系统的李雅普诺夫稳定判据 3.4 线性系统的李雅普诺夫稳定判据 3.4.1 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据 3.4.1 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据：线性连续（时变或定常）系统稳定的充分必要条件是，给定一正定的实对称阵Q(t)，存在一个正定实对称矩阵P(t)，使李雅普诺夫矩阵微分方程成立。 3.4.1 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据 例3.6 分析系统的稳定性。 3.4.1 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据 3.4.2 线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据 设线性定常离散系统的状态方程为 3.4.2 线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据 3.4.2 线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据 例3.8 确定系统平衡点处大范围渐近稳定的条件 THE END 解得 验证正定性：因为 所以，P是正定的。因此，系统是（大范围）渐近稳定的，李雅普诺夫函数为 取李雅普诺夫函数 令 为离散系统的李雅普诺夫方程。 线性离散系统的李雅普诺夫稳定判据：线性定常离散系统渐近稳定的充分必要条件是，给定任一正定实对称阵Q，存在一个正定实对称阵P，满足离散系统的李雅普诺夫代数方程 例3.7 分析系统的稳定性 解： 选Q=I，代入离散系统的李雅普诺夫代数方程得 根据矩阵相等的定义得： 解得 采用塞尔维斯特准则 P为正定实对称阵，系统是大范围渐近稳定。李雅普诺夫函数为 解： 选Q=I，代入离散系统的李雅普诺夫代数方程（3.38）得 根据矩阵相等的定义，得到下列方程组： 系统稳定的条件为 Modern Control Engineering 范数的定义有很多种。下面介绍常用的欧氏范数，它是二维、三维空间中长度概念的推广。 1. 向量的范数 n维向量空间的范数定义为 2. 矩阵的范数 3.1.1 范数的概念 系统没有输入作用时，处于自由运动状态，当系统到达某一状态，并且维持在此状态而不再发生变化时，这样的状态称为系统的平衡状态。 连续系统 平衡状态是满足平衡方程 的系统状态。离散系统 的平衡状态 ，是对所有的k，都满足平衡方程 的系统状态。 当A非奇异时，线性系统只有一个平衡状态 当A奇异时，线性系统有无穷多个平衡状态。 非线性系统可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。 例3.1 求下列非线性系统的平衡状态 3.1.2 平衡状态 解 由平衡状态定义，平衡状态应满足 因此，该系统有三个平衡状态： 1892年，李雅普诺夫给出了稳定性的一般定义。 （1）稳定：如果对于任意给定的每个实数 ，都对应存在着另一实数