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* * 现代控制理论第八讲 王凯明 长安大学理学院数学与信息科学系 第三章 线性控制系统的能控性和能观性 能控性(Controllability)和能观性(Observability)是现代控制理论两个重要的概念，是状态分析的根本问题。它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。 6、传递函数的最小实现。 本章主要内容： 1、能控性和能观性的定义； 2、判别系统能控性和能观性的准则； 3、能控性和能观性的对偶关系； 4、能控标准型能观标准型； 5、不完全能控系统和不完全能观型的结构分解； 本次课主要内容: 1、能控性的定义 线性连续定常系统 线性连续时变系统 离散系统 2、能控性判别 具有约旦标准型的能控性判别 直接从A与B判别系统的能控性 3—1 能控性的定义 能控性研究的问题： 系统在控制输入作用下，状态矢量的转移情况。 一、线性连续定常系统的能控性定义 状态可控：对于线性连续定常系统，如果存在一个分段连续的输入u(t),能在有限时间区间[t0 , tf]内，使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态，则称此状态是可控的。 系统能控：若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。 说明： 1、在线性定常系统,初始时刻t0=0，初始状态为x(0),任意终端状态就指定为零状态，即 x(tf)=0 2、也可以假定x(t0)=0,而x(tf)为任意状态； 3、控制作用理论上说是无约束的，取值并非唯一的。 P为初始点，P1,P2,P3…….Pn为任意终端状态 二、线性连续时变系统的能控性定义 说明：其定义与线性连续定常系统相同，但线性连续时变系统状态矢量的转移与初始时刻t0的选取有关，因此时变系统能控性定义强调t0时刻系统是可控的。 三、离散系统 离散系统状态可控定义： 对于n阶线性定常离散系统，如果存在控制作用序列u(k),u(k+1)……u(l-1)能将第k步的某个状态x(k)在第l步上达到零状态，即x(l)=0,其中l是大于k的有限数。那么就称此状态是可控的。 离散系统可控定义： 如果系统在第K步的所有状态x(k)都是可控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控系统 3—2 线性定常系统的能控性判别 一、具有约旦标准型的能控性判别 1、单输入系统 （1）无重根，系统矩阵为对角型的二阶的可控性分析 标量微分方程： （2）有重根，系统矩阵为约旦型，控制矩阵第一行为零 标量微分方程： （3）有重根，系统矩阵为约旦型，控制矩阵第二行为零 标量微分方程： 结论： 1、系统的能控性取决于系统矩阵A和控制矩阵b; 2、系统矩阵为对角型，如果b的元素有零时，系统是不完全可控的； 3、系统矩阵为约旦标准型，只有当b中相应与约旦块的最后一行的元素为零时，系统为不完全可控的； 4、不能控的状态，在模拟结构图中表现为与控制输入无关的孤立方块，它对应的是一阶标量齐次微分方程。 2、具有一般形式的多输入输出系统 系统的状态方程 （1）若令 ，可变换为约旦表准型 （2）可以证明初等变换不会改变系统的能观性 （3）一般系统能控性判据： 若系统矩阵A的特征根互异，则系统的能控的充分必要条件是控制矩阵T-1B的各行元素没有全为零的。 若系统矩阵A的特征根有重根，系统可控的充分必要条件是： 1） T-1B中对于相同特征根的部分，它与约旦块最后一行相对应的一行的元素不全为零； 2） T-1B中对应于互异特征根部分，它的各行元素不全为零。 （4）特殊情况说明： A的特征根互异时，其对应的特征矢量必互异，则必定可以化成对角型。当A的特征根相同时，其对应的特征矢量也可能是互异的，也有可能化成对角型，这样就可能出现两个以上与同一特征值相关的约旦块。 [例3-1] 判断下列系统的能控性 [例3-2] 判断下述控制系统的是否能控 解 [例3-3] 判断下述控制系统的是否能控 解 1、A无重根时 2、A有二重根时 3、A有三重根时 二、直接从A与B判别系统的能控性 1、单输入系统 定理：n阶线性定常单输入系统 能控的充要条件为能控判别阵： 的秩等于n。 [证明] 根据能控性定义，对于任意的初始矢量