理论力学经典振动.pptVIP

R C O 例 题 7 由能量法求固有频率 ? 解：设摆角 ? 的变化规律为 系统的最大动能为 取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为 R C O ? 由机械能守恒定律有 §19-3 单自由度系统有阻尼自由振动 阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑 表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的 阻力。 物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系 C－粘性阻尼系数或粘阻系数 1. 阻 尼 2. 振动微分方程 m k m c O x Fk Fc v 取平衡位置为坐标原点，在建 立此系统的振动微分方程时， 可以不再计入重力的影响。 物块的运动微分方程为 本征方程 本征值 本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。 设其解为 其通解为 3. 小阻尼情形 当 n ?n 时，阻尼系数 ，这时阻尼较小， 称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即： 其方程的解为 利用初始条件 求得 或 Td A2 A1 衰减振动的周期： 引入阻尼比： 得有阻尼自由振动和相应的无阻尼自由振动间的关系： 大阻尼(?1)情形 临界阻尼(?＝1)情形 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数 衰减 ?1 ?＝1 x O t §19-4 单自由度系统无阻尼受迫振动 k m0 ? e 受迫振动 系统在外界激励下产生的振动。 激励形式 外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。 Fk F 1. 振动微分方程 m O x x 振动微分方程 微分方程的解为： 将 x2 代入微分方程，得 解得 2. 受迫振动的振幅 幅频特性曲线 3. 共振现象 当 ? ＝?n 时，激振力频率等于系统 的固有频率时，振幅在理论上应趋于 无穷大，这种现象称为共振。 这表明无阻尼系统发生共振时， 振幅将随时间无限地增大。 §19-5 单自由度系统有阻尼受迫振动 F k m c F m O x Fk Fc 这一微分方程的全解等于 齐次方程的全解与非齐次方 程的特解之和。 有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 代入微分方程，解得 运动微分方程的通解为： 在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成： 第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动。 引入： ? ? ? ? ? ? ? ? 幅频特性与相频特性 1、? ＝ 0的附近区域(低频区或弹性控制区)， ? →1，?＝0， 响应与激励同相；对于不同的? 值，曲线密集，阻尼影响不 大。 2、? 1的区域(高频区或惯性控制区)， ? →0，? → ?，响 应与激励反相；阻尼影响也不大。 ? ? ? ? 幅频特性与相频特性 在低频区和高频区，当 ? 1时，由于阻尼影响不大，为 了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。 ? ? ? ? 幅频特性与相频特性 3、? ＝1的附近区域(共振区)， ? 急剧增大并在 ?＝1略为 偏左处有峰值。通常将?＝1，即? ＝ ?n 称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。 在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， ?＝1时，总有， ? ＝ ?/2 ,这也是共振的重要现象。 例 题 8 惯性测振仪的内部安装 有“ 质量(m)－弹簧(k)－阻 尼器 (c)”系统。测振仪外 壳安置在被测振动的物体 上。仪器内置质量块相对 于外壳(被测振动的物体) 的运动被转换成电信号输 出。当被测振动的物体的 运动规律为xe=asin?t 时， 试分析仪器内置质量块相 对于外壳(被测振动的物体) 的振动。 k c m 解：在测振仪外壳上固 结动坐标系 O－ xr，系统 的牵连运动为平移。 以质量块相对于仪器外 壳(被测振动的物体)的位 移 xe 作为广义坐标。 系统的运动为非惯性系 运动。 应用达朗贝尔原理，在 质量块上附加惯性力Fe ， 建立系统的运动微分方程。 k c m Fe xr O xe O1 解： 应用达朗贝尔原理，在 质量块上附加惯性力Fe ，建立系 统的运动微分方程。 k c m Fe xr O xe O1 其稳态响应为 解：稳态响应的幅频特性与相频特性曲线 幅频特性曲线的特点： 在高频区，当? 1时， B /a → 1 。因此，设计时 应当使测振仪具有比较低 的固有频率，才能有比较 大的? 值。 被测频率愈高，测量精 度也高；被测频率低，测 量精度便低。 对于同一? 值，阻尼较 大时， B /a 趋近于1。 例 题 9 工作台 c