用消元法解下列方程组的过程过程稿.PPTVIP

* 分析: 用消元法解下列方程组的过程. 引例: 求解线性方程组 §12.6.1 矩阵的初等变换 本章先讨论矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念, 并提出求秩的有效方法. 再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件, 并介绍用初等变换解线性方程组的方法. 内容丰富, 有一定难度. 一、消元法解线性方程组 解: ①?② ③?2 ②?③ ③?2① ④?3① ②?2 ③+5② ④–3② ③?2④ ③?④ 用“回代”的方法求出解. 于是得解: 其中x3可以任意取值. 或令x3=c, 方程组的解可记作: 1.上述解方程组的方法称为消元法． 2. 始终把方程组看作一个整体变形, 用到如下三种变换: (2) 其中c为任意常数. 或 归纳以上过程: (3) 一个方程加上另一个方程的 k 倍: (2) 以不等于0的数 k 乘某个方程: (1) 交换方程次序: i 与 j 相互替换; 以 i ?k替换 i ; 以 i +k? j 替换 i . 　　由于三种变换都是可逆的, 所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的. 故这三种变换是同解变换. 3. 上述三种变换都是可逆的. 　　因为在上述变换过程中, 未知量并未参与本质性运算, 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算. 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵)的变换. 二、矩阵的初等变换 定义1: 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 对调两行 (对调 i, j 两行, 记作 ri ?rj ) ; (2) 以非零数k乘以某一行的所有元素 ( 第 i 行乘 k, 记作 ri ?k ); (3) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去 (第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去, 记作 ri+k?rj ). 同理可定义矩阵的初等列变换( 所用记号是把“r”换成“c” )． 定义2: 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换. 初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同. ri ?rj 的逆变换为 rj ?ri; ri ?k 的逆变换为 ri ?(1/k), 或 ri ?k; ri+k?rj 的逆变换为 ri+(–k)?rj , 或 ri – k?rj . 定义3: 如果矩阵A可经过有限次初等行变换变为矩阵B, 则称矩阵A与B行等价. 记作A?B. (2) 如果矩阵A可经过有限次初等列变换变为矩阵B, 则称矩阵A与B列等价. 记作A?B. (3) 如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B, 则称矩阵A与B等价. 记作A?B. r c 具有以下三条性质的关系 ? 称为等价关系: (1) 自反性: A ? A; (2) 对称性: 若A ? B, 则 B ? A; (3) 传递性: 若A ? B, 且 B ? C, 则A ? C. 矩阵的(行、列)等价 ? 满足等价关系的定义. §12.6.2 矩阵的秩 定义: 在m?n矩阵A中任取 k 行 k 列( k?m, k?n ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A的k阶子式. m?n矩阵A的k阶子式共有 定义: 若在矩阵A中有一个 r 阶子式D非零, 且所有的 r+1阶子式(如果存在的话)都为零, 则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式, 称数 r 为矩阵A的秩, 记作R(A). 规定零矩阵的秩为零. m?n矩阵A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高阶数. 对于AT, 显然有: R(AT) = R(A). 解: 在矩阵A中 例1: 求矩阵A= 的秩. 又由于矩阵A的3阶子 式只有| A |, 且| A | = 0. 所以, R(A)=2. 例2: 求矩阵A= 的秩. 解: 因为 计算A的3阶子式. 所以, R(A)=2. 定理: 初等变换不改变矩阵的秩 另解: 用初等变换将A化为行阶梯形矩阵: 显然, 非零行的行数为2. 所以, R(A)=2. 特点(1). 可划出一条阶梯线, 线的下方全为零; 特点(2). 每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数, 阶梯线上的第一个元素为非零元, 即非零行的阶梯线上的第一个元素为非零元. 行阶梯矩阵 例3: 求矩阵A= 的秩. 解: 用初等行变换将A化为行阶梯矩阵: A r1?r