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理论力学 第 二 章 本章主要内容 §1、静电势和Poisson方程 1、静电场的标势 对分立的点电荷分布，上式为： 2、静电势的方程和边值关系 3、静电场的能量 §2、电多极矩 1、电势的多极展开 定义： 2、关于电多极矩的讨论 通常，电偶极矩p与原点的选取有关， 当电荷是球对称分布，原点取在中心时， 如果2个在x 轴上反方向的偶极子 3、电荷体系在外电场中的能量 把Uint分量级写出： 4、电偶极子在外场中受到的作用力和力矩 §3、唯一性定理 1、唯一性定理1 证明： 在S上，yi 满足下列3者之一： 2、唯一性定理2 §4、解微分方程求电势 1、从Poisson方程到Laplace方程 2、分离变量法 解可以设为： 把[2]式中的解代入边界条件[1]得： 3、举例 通常，先用r＝0，和?的条件比较方便。 解这个关于未知数a1、 d1 的线性方程组，得： 介质内的电场: §5、镜像法 1、平面导体 (1) 在 z 0 的半无限空间， (2) 在 z 0 的半无限空间 (3) 金属表面的面电荷密度 ， Q 受到的作用力 (4) 问题 2、接地导体球 3、不接地导体球 §6、静电中的Green函数方法 1、 Green函数分类 2、 利用Green函数解边值问题 3、 几种特殊的Green函数的表达式 4、 应用举例 本章主要内容回顾 在上式中， O a z V Q S = 最后得到边值问题的解： O z q a r’ r 其中用到了 电荷密度的分母上的2已经消掉了。 和这个例子类似，也可以用Green函数方法求另外一些 边值问题的解。 单位基矢i、j、k是完备、正交的。因为任意矢量可以用 这3个基矢线性叠加表示出来，这3个基矢之间的 内积为0。但仅i、j是不完备的。 Legendre 多项式的正交关系为： 要求出上述边值问题的解，还需要给出端点处， 即 r ～ 0处的电势的行为，例如： 在原点有一个点电荷，当 r～ 0 时， f ～ 1/ r ; 如果r(r = 0)有限，则当 r～ 0 时， f 有限。 在有的情况下，还需要给另一个端点 r ～ ∞ 处电势 的行为。 半径为R，介电常数为e 的线性、均匀、各向同性 电介质球放在电场强度 为E0 均匀外电场中， 球内总电荷密度、球面上的自由面电荷密度都为0， 求电势。 [1]([2]) O R f in f out E0 z 解：从球内总电荷密度为0可以导出 r=R [3] [4] [5] 有限。 [6] 这相当于取定了f 的0点 自由电荷密度也为0（已做习题），边值问题： 解的形式为： 由[6]式得，bl ＝0，所以 由[5]式得，当l ≠ 1时，cl ＝0；c1 ＝－E0 ， 由[3]式和[4]式得， 由于Pl 的正交性，上面等式两边 Pl 前的系数对应相等。 所以 比较上面的2个不等式，得： l ≠ 1时， 所以 l ≠ 1时， al＝ dl ＝0。 l ＝ 1时， ∴ 对 r R， 对 r R， 由上式知道，当介质球不存在时，即e＝ e0 ， Ein＝ E0 。 进一步可以求出极化强度： 介质球的电偶极矩为： 介质球外的电势的第一项是由外场产生的， 第二项正是球的电偶极矩产生的电势： 在球内，由于极化强度P是 常量，所以，球内没有 极化电荷。 右边是面电荷分布示意图。极化电荷产生的电场的方向 如图中的黄色箭头所示，与E0相反，这可以定性解释 Ein小于E0 。 f in f out + + + + + - - - - - E0 z 对通常的电荷体系，一般取无穷远处的电势为0， 但对无穷远处电场不趋于0的理想化的电荷体系， 不能取无穷远处为电势的0点。 当e → ? 时，f in→ 0，即介质球为等势体， 这个结论对其它形状的电介质也成立， 这与金属的结果相同。 由极化强度容易算出 介质球表面的面电荷密度， 但金属的介电常数e 一般都不大（与真空相比）。 金属和e → ? 时的电介质内部的电场为0的机制不同， e 非常大的电介质是因为，即使介质中只有很小的电场， 也会因极化电荷而产生足够大的反向电场， 直到其内部的电场为0为止。 金属是因自由电荷移动直到其内部的电场为0为止； 1、平面边界 2、接地导体球 3、不接地导体球 4、问题 在上一节，通过分离变量法解边值问题并不很容易。 但当电荷体系仅包括一个或几个点电荷， 并且边界是平面、球面或柱面等简单、对称情形， 可以用更简单方法求出相应的边值问题的解。 距无限大导体平面d 处有一电量 为Q 的点电荷，求全空间的电势。 O d z Q 由于导体平面为无限大， 即导体延伸到无穷远。如果取 无穷远处的电势为0，则导体的电势为0。边值问题： z 0, z 0, 当 r → ? 时， f 趋于0不比 1/