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半径 a，带有均匀电荷分布 的无限长圆柱导体， 求导体柱外空间的电势和电场。 解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面 r = a 处，即 选柱坐标系。 对称性分析： ① 导体为圆柱，柱上电荷均匀分布， 一定与 无关。 ② 柱外无电荷，电场线从面上发出后，不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿 方向，可认为 与z无关， x y z o r θ 当 r = a 时， 在导体面上 [补充题1]长方形盒的长为A、宽为B、高为C，上盖电位为 ，其余接地，求盒内的电位分布。 C A B [补充题2]无穷长导体圆筒，半径为a，厚度可以忽略不计。圆筒分成相等的两个半片，相互绝缘。其中的一半的电位为 ，另一半电位为 ，求圆筒内的电位分布。 4．一半径为 a，介电常数为 的无 限长电介质圆柱，柱轴沿 方 向， 方向上有一外加均匀电 场 ，求空间电势分布和柱面 上的束缚电荷分布。 解：(1)边界为柱面,选柱坐标系。均匀场电势在无穷远处不为零，故参考点选在有限区域，例如可选在坐标原点 常数（或0） x y z O (2) 考虑对称性电势与z无关，设柱内电势为 ，柱外为 它们分别满足 , 。通解为： (3) 确定常数 ①因为有外加均匀场，它们对x轴对称，可考虑 、 也 相对x轴对称（ 为偶函数），所以 中不应包 含 项，故： 、 均为零。 ② 常数（或零），有限，故 中不应有 项 。 （均匀场电势）， 中不含 项 ），得 （ 因此 ③ 时， 两边 为任意值， 前系数应相等（ ） （4）解为 （5）求柱内电场： 仍沿x方向 ∴ ∵ Z （6）柱面上束缚面电荷分布 （7）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解，或令 5．如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，用分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。 解：(1)边界为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选 若将Q移到壳上，球接地为书中P48例题 （2）设球壳内为I区，壳外为II区。 球壳内: 球壳外 电荷在球上均匀分布，场有球对称性， 与 无关 I II （3）确定常数 ① ② ③ 导体壳为等势体 ④ 在导体壳上 （4） （5）球壳上的感应电荷 壳外面 壳内面 以上结果均与高斯定理求解一致。 R0 z 6．均匀介质球（介电常数为 ）的中心置一自由电偶极子 ，球外充满另一种介质（介电常数为 ），求空间各点电势和束缚电荷分布。 解: (1) 与 的边界为球面，故选球坐标系，电荷分布在有限区，选 (2)设球内电势为 ，球外电势为 ,球外无自由电荷分布，电势满足 。但球内有自由偶极子，不满足拉普拉斯方程，但满足泊松方程。考虑偶极子使介质极化，极化电荷分布在偶极子附近和球面上。自由偶极子在介质中产生的电势 所以 满足 还可设 为简单令 考虑轴对称： （3）确定常数 R→0， 有限 R→∞ 边值关系 并注意到 比较 的系数，得 （4）电势解为 （5）球面上束缚（极化）电荷分布 [补充题3] 一半径为R0的球面，给定球面上任意一点 P 的电势 ， 为常数，求面内外的电势分布。 R0 P O 答案： 注意： 答案： 作业： 1、2、4、5 补充题 3、4 选作：6 *、补充题 1、2 [补充题4] 有一半径为 a 的无限长圆柱导体，柱轴沿 方向，沿 方向上有一外加均匀电场 ，求空间电势分布（球外为真空）和面电荷分布（令柱面处电势为零）。 x y z O §2.4 镜 象 法 重点掌握： 1、镜象法的基本概念 2、求解电势的基本方法 求解泊松方程的难度 、镜象法的概念和适用条件 一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。 Q Q 2. 以唯一性定理为依据 在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。 特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体