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YCD2011 §4-5 两直线的相对位置 一、平行两直线 二、相交两直线 三、 交叉两直线 四、交叉两直线重影点投影的可见性判断 重影点及其可见性： [例题5] 判断两直线的相对位置 [例题6] 判断两直线的相对位置 §4-6 直角投影定理 1. 垂直相交的两直线的投影 因AB//ab,AC┴AB→ AC┴ab; → ab┴面ACca → ab┴线ca 2. 交叉垂直的两直线的投影 因AB//ab,MN┴AB→ MN┴ab; 则 ab┴面MNmn→ ab┴线mn 例题1 过点A作EF线段的垂线AB 例2 求K到AB的最短距离KM，确定M点，并求出KM实长。 例题3 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。 [例题10] 作三角形ABC，?ABC为直角，使BC在MN上，且BC?AB =2?3。 3-29 已知正方形ABCD的一边BC的投影及另一边AB的V面投影的方向（ab属于bn），完成正方形的投影。 3-27 * 一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线 四、交叉两直线重影点投影的可见性判断 ——异面直线 1．若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。 2．平行两线段长度之比等于其投影长度之比。 b? a a? d? b b c c? X b? a? a b d c? d? c 当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。 b? X a? a b k? c? d? d c k 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。 b? X a? a b c? d? d c 1 1?(2?) 2 (3?)4? 1(2) 4 3 3 4 1? 2? 1 2 判别两直线上重影点的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点，投影可见。反之不可见加括号。 3?(4?) 3 4 1? 2? 1(2) d? a? c? b? o YW YH z 做第三面投影法：交点不满足点的投影规律。 结论：交错 1? 1?d? c? 1? 1 比例法：交点分CD两投影之比不相等，不是共有点。 结论：交错 b? d? c? a? c b a d d? b? a? c? 对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。 X Z o YH YW 方法二：看字母顺序是否相同。 方法三：看投影长度之比是否相同。 ［例7］判断图中两条直线是否平行。 若其中有一条不满足，则二直线交叉。 条件：垂直相交或交叉垂直的两直线其中一条为投影面平行线的投影 定理　相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 逆定理　两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线必垂直。 H 定理：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面 时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 A B C x o b c a c a b c a b a b a b m n m n O X b b′ x o e′ f′ a′ e f a 解题分析： 空间有几个解？ 方法1、作一条正平线的正面投影┴ef; 这条正平线的水平投影如何？ 方法2：作一条水平线的水平投影┴ef; 这条水平线的正面投影如何？ a b a b k k a b a b k k a b a b k k m m M0 KM实长 m m X X X 解题分析：AB是什么直线？ 过k作km┴ab能否保证空间AB┴ KM？ f′ e x o a′ b′ c′ d′ e′ a b c d f 解题分析： AB是什么位置直线？ CD是什么位置直线？ 空间中AB、CD 的公垂线，在水平投影及正面投影应是什么样的线？ 注意：F点的正面投影与水平投影要对齐。 b? b c AB a?b? |yA-yB| b?c?=BC c? a? a 解题分析： MN是什么位置直线？ 如何求BC? n BN bc= BC=AB ΔyBn a a d d ΔyBn 分析：BC为水平线， 其水平投影垂直bn ，且反映实长。 作图步骤：做bn垂直bc ，求BN实长，得β； 连接Nn，量取bc= BC=AB= bA，过A作aA平行Nn 得 a 及a 。 过a及c做平行线得d及d 。用粗实线连接各点 。 β N A * * * * *