直角坐标系下重积分的计算.pptVIP

第2节 直角坐标系下的二重积分的计算 第10章 曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 例1. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则 若D为Y –型区域 则 当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 例2. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 例3. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 例4. 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 例5. 交换下列积分顺序 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 例6. 计算 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 例7. 计算 解: 例8. 设 且 求 提示: 交换积分顺序后, x , y互换 内容小结 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 计算步骤及注意事项 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) * * * *