矢量与坐标过程稿.pptVIP

§1.1 向量的概念 §1.2、向量的加法 §1.3 数量乘向量 §1.5 标架与坐标 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 §1.6 向量在轴上的投影与投影定理 §1.7 两向量的数量积 §1.8 两向量的向量积 §1.9 向量的混合积 向量积的坐标表达式 向量积还可用三阶行列式表示 // 由上式可推出 // 两向量平行的充要条件： 向量积模的几何意义 例如， 解 解 三角形ABC的面积为 解 定义 设 混合积的坐标表达式 例2 设 =(1,2,3), =(1,-1,1). 求 (1)2 +3 ; (2) 的基本单位向量分解; (3)求表达式 解 为空间两点. 空间两点间距离公式 解 原结论成立. 解 设P点坐标为 所求点为 空间两向量的夹角的概念： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 2.方向角与方向余弦的坐标表示式 非零向量 的方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式 方向余弦的特征 上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向量就是与 同方向的单位向量 解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或 解 在三个坐标轴上的分向量： 由前面分析知， 一般地， 空间一点在轴上的投影 空间一向量在轴上的投影 关于向量的投影定理（1） 证 由此定义， 定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 关于向量的投影定理（2） （可推广到有限多个） 关于向量的投影定理（3） 解 启示 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. M1 M2 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 定义 关于数量积的说明： 证 证 数量积符合下列运算规律： （1）交换律： （2）分配律： （3）若 为数： 若 、 为数： 设 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为： 解 证 实例 定义 关于向量积的说明： // 向量积也称为 “叉积”,“外积”. 向量积符合下列运算规律： （1） （2）分配律： （3）若 为数： 证 // // 设 向量积的坐标表达式 o * * §1.1 向量的概念 §1.4 向量的线性关系与分解 §1.2 向量的加法 §1.5 标架与坐标 §1.3 数量乘向量 §1.6 向量在轴上的射影 §1.7 两向量的数性积 §1.8 两向量的矢性积 定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称向量. 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 向量的几何表示： | | 向量的模： 向量的大小. 或 或 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 有向线段 有向线段的方向表示向量的方向. 有向线段的长度表示向量的大小, 所有的零向量都相等. 模为1的向量. 零向量： 模为0的向量. 单位向量： 或 定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为 ＝ 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量. 零向量与任何共线的向量组共线. 定义1.1.4 平行于同一直线的一组向量叫做共线向量. 定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量叫做共面向量. 零向量与任何共面的向量组共面. O A B 这种求两个向量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个向量 为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量 O A B C 这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） O A1 A2 A3 A4 An-1 An 这种求和的方法叫做多边形法则 向量减法 A B C 定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）第一分配律： 两个向量的平行关系 （3）第二分配律： 证 充分性显然； 必要性 ‖ 两式相减，得 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 例1 化简 解 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证