矩阵及其运算past.pptVIP

例9 设 求AB。 解 把A、B分块成 由于 (4)设 , 则 . (5)设A为n阶方阵, 若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零子块都是方阵，即 则称A为分块对角矩阵, 分块对角矩阵具有性质: （a） |A|=|A1||A2|…|As| （b） 例10 设 求A－1。 解 因为A是分块对角矩阵, 所以 例11 设 求A－1。 解 对A进行分块, 即 则有 . 记 所以有 X11+A1X21=E , X12+A1X22=0, A2X21=0, A2X22=E 解得 所以有 例12 证明 设A是m?n矩阵, B是n?m矩阵. 其中An, Bn都是n阶方阵. 于是有 所以有 设AB=E, BA=E, 则A是方阵, 且可逆, A-1=B. 如果mn, 作分块 AnBn=En , AnBm-n=0, Am-nBn=0, Am-nBm-n=Em-n 矛盾. 故应有n?m. 同理可得m?n. 于是m=n. 即A, B都是方阵, 于是A可逆, 且其逆矩阵为B. §4 初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在线性代数中有着极其广泛的应用。 定义2.3 对矩阵作下列三种类型的变换分别称为第一, 第二, 第三种初等行(列)变换： 1. 互换矩阵的某两行(列); 2. 某行(列)乘以非零常数; 3. 某行(列)的倍数加到另一行(列). 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换. 当矩阵A经过初等变换变为B时, 记为A?B. 若强调变换的具体做法, 对行(row)的表示为: ri?rj 表示互换第i, j 两行 类似地, 初等列(column)变换分别表示为 易见, 各种初等变换都是可逆的, 且逆变换也是同类型的初等变换。 kri 表示第i行乘以k?0 ri+krj 表示第j行的k倍加到第i行. ci?cj 表示互换第i, j 两列 kci 表示第i列乘以k?0 ci+kcj 表示第j列的k倍加到第i列. 例13 设 解 对A做初等变换将其简化. 定义2.4 对单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 初等矩阵有如下三种类型 可见, 可见, 可见, 定理2.3 对矩阵A作一次初等行(列)变换得到的矩阵等于对A左(右)乘上一个相应的初等矩阵。 实际上, 初等矩阵只有三种类型, 我们分别对A作如下形式的分块 我们有 第二章 矩 阵 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论矩阵的基本运算、逆矩阵、分块矩阵以及初等变换和初等矩阵。重点是逆矩阵的计算和矩阵方程的求解以及初等变换和初等矩阵之间的关系。 §1 矩阵的概念及其基本运算 定义2.1 由m×n个数aij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)组成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵,记为: 组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素, aij称为矩阵A的第i行第j列元素, 矩阵A也简记为(aij)或(aij) m×n或A m×n 。 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素为复数的矩阵称为复矩阵，本课除特殊说明外都讨论实矩阵。 下面介绍矩阵的基本关系及运算 一、相等 设有两个矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)s×t, 如果m=s, n=t, aij=bij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n), 则称矩阵A与B相等, 记为A=B. 两个矩阵