矩阵的初等变换与初等矩阵.pptVIP

一、矩阵的初等变换 三、小结 初等矩阵 一、初等矩阵的概念 二、初等矩阵的应用 三、小结 思考题 思考题解答 即 初等行变换 例２ 解 列变换 行变换 解 例3 * * 第二章 矩阵 中南财经政法大学信息系 第六节　矩阵的初等变换与初等矩阵 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 逆变换 逆变换 逆变换 矩阵初等行变换 特点： （1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）、每个台阶 只有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 例如 特点： 1.初等行(列)变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 3.矩阵等价具有的性质 2. 初等变换 定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. 初等矩阵具有以下性质： （1）初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵。 （2）初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍是可逆 矩阵。且 等价关系的性质： 具有上述三条性质的关系称为等价． 定理1 如果矩阵 ,则对 A施以若干次的初等变换，可以把A化为等价标准形: 推论1 设矩阵 ,则存在m阶 初等矩阵 和n阶初等矩阵 使得 推论2 设矩阵 ,则必存在m阶可逆阵P和n阶可 逆阵Q 使得 推论3 n阶可逆矩阵A的等价标准形一定为 定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵 证 即 利用初等变换求逆阵的方法： 解 例１