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磁场的“高斯定理” 磁矢势 磁通量 任意磁场，磁通量定义为 磁高斯定理 通过磁场中任一闭合曲面S的总磁通量恒等于零 证明： 单个电流元Idl的磁感应线：以dl方向为轴线的一系列同心圆，圆周上B 处处相等； 考察任一磁感应管(正截面为)，取任意闭合曲面S，磁感应管穿入S一次，穿出一次。 推广到任意载流回路的磁场 一个电流元产生的磁场可看成由许多磁感应管组成 有的穿入又穿出，有上述结论 有的没穿过S，磁通量为零 任意载流回路——由许多电流元串联而成，由叠加原理得 结论：通过磁场中任一闭合曲面S的总磁通量恒等于零。 磁高斯定理的微分形式 利用数学的高斯定理 磁矢势 然而磁场的主要特征：无源（无散）——磁高斯定理 其更根本的意义：使我们可能引入磁矢势 磁高斯定理表明：对任意闭合面 根据矢量分析 对任意矢量A有 找电流产生的磁场中磁矢势的表达式 电流元的磁矢势 p112式（2.55) 任意闭合回路的磁矢势 式（2.56) 例题9 例题10 例题11 电流元的磁矢势 设磁矢势a与电流元平行（因为对矢势变换规范可以任选，选库仑规范??A=0 的结果）——a只有z分量 计算通过L的通量 场点P和回路L在?＝0的平面内 通过L的磁感应通量为： 矢势公式的应用举例 例题9：一对平行无限长直导线，载有等量反向电流I 先求一根无限长直导线的磁矢势（如图） 设矢势A只有z分量 无限长——Az与z无关 轴对称——Az与?无关 Az只是?的函数： Az＝ Az(?) 求矢势小结 依据公式(a)求矢势的基本步骤 根据对称性，假设一个矢势的方向 取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出积分号，或积分好算） 算出通过回路的磁通量 得出A 一个表达式 以上几个例子（例题11自己看）都属于强对称性场，实际上是已知B求A，也可以直接根据电流分布求矢势——更多的问题在电动力学中学习 相关的习题很少，掌握这种方法 p145 2-20(3)、2－21（3）（不能用这种方法求） *北京大学物理学院王稼军编 * 磁感应线的特点： 环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远 磁高斯定理 无源场 结论：任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零 说明恒磁场的散度为零——无源场 无源场 有旋场 非保守场一般不引入标势 磁通量仅由 的共同边界线所决定 可能找到一个矢量A，它沿L作线积分等于通过S的通量 数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，对于磁感应强度B，A叫做磁矢势，A在空间的分布也构成矢量场，简称矢势 矢势的特点 其实标势也不唯一，零点可选 如：对于任意标量场?的梯度??，有 描述同一个磁感应强度B 类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取 通常选库仑规范: ??A=0 两种办法 电动力学的做法 普通物理的方法 以电流元为轴,取柱坐标（?、?、z ) 取闭合环路L 只有这一段积分有贡献 ？ 消去dl 上式为电流元所产生的磁场中矢势的 一个表达式 ——矢势表达式不唯一 任意闭合载流回路L1 在空间某点的矢势 电流在导线截面上均匀分布 电流回路 假如电流在载流截面上不均匀分布 取回路 求磁通量 一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差 两根无限长载流直导线的磁矢势 矢量叠加（如图） 叠加得P点总矢势 取Q零点 ＋ 例题10：无限长圆柱型导体，半径为R，载有在界面上均匀分布的电流I，求磁矢势 rR：导线内部P点，取Q点在导体轴线上，取回路如图，通过回路的磁通量 rR：导线外部同例题9，取Q点在导体表面，外部任意点P与Q点的矢势差为 *北京大学物理学院王稼军编