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南京电力自动化设备总厂研究开发中心 WBX-128E型500kV变电站综合自动化系统 南京电力自动化设备总厂研究开发中心 第四章 稳定性与李亚普诺夫方法 §4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 §4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 §4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 §4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 §4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 §4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 §4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 §4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 §4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 §4－2 李亚普诺夫第一法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－3 李亚普诺夫第二法 §4－4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 §4－4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 §4－4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 §4－4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 §4－4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 §4－4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 §4－4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 §4－4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 §4－4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用 §4－5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用 §4－5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用 §4－5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用 §4－5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用 §4－5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用 §4－5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用 例：已知线性定常系统 试判断其稳定性。 解：方法一：采用线性定常系统的李亚普诺夫判据 令 则由矩阵方程 可得： 方法二：采用一般意义的李亚普诺夫第二方法 其主子行列式： 故P为正定对称阵，系统在平衡状态 是渐近稳定的。 令 即取 则 式中： 即 ；显然 半负定。 要判定系统是否渐进稳定，还需判定在状态轨迹上是否存在 的条件是： 可得在 不恒等于零，故在状态轨迹上 不恒等于零。 故系统在平衡状态 是渐近稳定的。 由 二. 线性时变系统的渐近稳定性判据 定理：对于给定的没有外输入的线性时变系统 为分段连续一致有界的实函数。在平衡状态 渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的一个实对称、一致有界、一致正定的时变矩阵 ，必存唯一的一个实对称、一致有界、一致正定的时变矩阵 ，满足如下矩阵微分方程： 而系统的李亚普诺夫函数为： 一. 雅可比矩阵法（克拉索夫斯基法） 考虑n维非线性系统： 是系统的平衡状态， 连续可微，系统的雅可比矩阵为 系统在平衡状态渐近稳定的充分条件为：对任意给定的实对称阵P，使下列矩阵 为正定。 且 是系统的一个李亚普诺夫函数。 如果，当 ，有 ，则系统在平衡状态是大范围渐近稳定的。 且 是系统的一个李亚普诺夫函数。 如果，当 ，有 ，则系统在平衡状态是大范围渐近稳定的。 证明：由于P为对称正定阵，故V(x)为正定。 由于，Q为正定，故 为负定。由李亚普诺夫稳定性判据，系统在平衡状态渐近稳定。 二. 变量梯度法 变量梯度法依据的基本事实：如果存在一