空间向量坐标表示和运算(三课时).pptVIP

空间向量运算的坐标表示 , 则 设 一、向量的直角坐标运算 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) 空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 二、距离与夹角的坐标表示 1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。 在空间直角坐标系中，已知　　　　　　、 　　　　，则 （2）空间两点间的距离公式 2.两个向量夹角公式 注意： 　（1）当　　　　　　 时，　　　同向； 　（2）当　　　　　　 时，　　　反向； 　（3）当　　　　　　 时，　　　。 解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系　　　　，则　　　　 例1　如图, 在正方体　　　　　　　中，　　　 　　　　　，求　　与　　所成的角的余弦值.　　 证明: 设正方体的棱长为1, 建立如图的空间直角坐标系 x y z A1 D1 C1 B1 A C B D F E 小结： 1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键： 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。 * 例1答案 * 例1答案2 * 知识要点2 * 例3 * 例3答案 * 例3答案 * 例1答案 * 知识要点3 3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示 共线向量定理: 复习： 共面向量定理: 平面向量基本定理： 平面向量的正交分解及坐标表示 x y o 回 顾 平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示（平面向量基本定理），那么，对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？ o i j k P Q P =xi+yj+zk 探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的 结论吗？ 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 都叫做基向量 空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面， 那么对空间任一向量p， 存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}， 使p=xa +yb+zc 定理 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底. （不共面且非零） （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确： （2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。 （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。 推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使 当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。 （1）如何在剧院中寻找自己的座位？ (2) 如何确定住户在小区中的位置？ 一、空间直角坐标系 一般地： 在空间取定一点O 从O出发引三条两两垂直的射线 选定某个长度作为单位长度 (原点) (坐标轴) ? O x y z 1 1 1 右手系 X Y Z 坐标轴 原点 由坐标轴确定的平面叫作坐标平面。 x，y轴确定的平面记作xOy平面 y，z轴确定的平面记作yOz平面 x，z轴确定的平面记作xOz平面 在空间直角坐标系中，xOy平面把空间分为三个部分： xOy平面、z轴的正半轴所在部分，z轴的负半轴所在部分. 同样，xOz平面、yOz平面也把空间分别分为三个部分 Ⅱ Ⅶ 面 Ⅴ Ⅵ Ⅰ 面 面 Ⅲ Ⅳ Ⅷ ? O 空间直角坐标系共有八个卦限 2、空间直角坐标系的划分 ? P1 P2 P3 y x z ? ? 1 1 P ? 1 ? 3、空间中点的坐标 对于空间任意一点P，要求它的坐标 方法一：过P点分别做三个平面垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值叫做P点的x坐标,y坐标,z坐标。 P点坐标为 (x,y,z) ? 1 1 1 ? P ? P0 x y z 方法二：过P点作xy面的垂线，垂足为P0点。点