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章对偶理论
6.对偶单纯形法 在用单纯形法求解线性规划问题时,迭代的每一步在得到原问题一个基可行解的同时,其检验数行的值是其对偶问题的基解; 在单纯形表中,原问题的松弛变量对应对偶问题的变量,对偶问题的剩余变量对应原问题的变量。 适用条件:针对MAX型线性规划问题列出初始单纯形表,检查b列数字,若都大于等于零,而所有检验数都小于等于零,则已得到最优解,停止计算;若检查b列数字存在小于零的数,而检验数保持小于等于零,那么利用对偶单纯形法进行求解。 确定换出变量 确定换入变量 迭代过程同单纯形法 0 0 -4 -3 -2 -4 -3 0 1 0 0 0 1 -4 -3 -1 -3 1 -2 -2 0 -2 -1 0 换出变量 换入变量 0 0 -4 -3 -2 -4 -3 0 1 0 0 0 1 -4 -3 -1 -3 1 -2 [-2] 0 -2 -1 0 2 -1 -1 -1/2 -1/2 0 0 1 -1 3/2 1/2 -4 -1/2 -5/2 1 -2 0 0 0 [-5/2] 11/5 2/5 -1/5 -2/5 1/5 -8/5 -1/5 -2/5 -9/5 7/5 -1/5 0 0 1 1 -2 0 0 -3 7.灵敏度分析 当价值系数、技术系数、限额系数中的一个或者几个发生变化时,已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化?或者这些系数在什么范围变化时,线性规划问题的最优解不变? 引入人工变量,编制新的单纯形表,求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 用单纯形法继续迭代求最优解 表中解仍为最优解 结论或继续计算的步骤 非可行解 可行解 非可行解 可行解 对偶问题 非可行解 非可行解 可行解 可行解 原问题 目标函数中价值系数的变化分析 0 0 0 3 2 0 -1/8 1/2 1 0 2 3 4 4 0 1 0 -1/8 1/2 1/4 -3/2 -2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 设基变量 的系数 变化 ,在原最优解不变的条件下,确定 的变化范围。 资源数量变化的分析 0 0 0 3 2 0 -1/8 1/2 1 0 2 3 4 4 0 1 0 -1/8 1/2 1/4 -3/2 -2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 求第2个约束条件右端项b2的变化范围 ,保持最优基不变。 假如对第一种资源增加4个单位,最优解有何变化? * 第2章 线性规划的对偶理论 单纯形法的矩阵描述 改进单纯形法 对偶问题的提出 线性规划的对偶理论 5. 对偶问题的经济学解释-影子价格 6. 对偶单纯形法 灵敏度分析 参数线性规划 1.单纯形法的矩阵描述 假设前m个列向量是线性独立的 基变量 非基变量 可以写成 两边左乘 设 目标函数 将 代入上式 令非基变量取值为零 15 16 12 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 3 5 0 2 3 0 0 4 0 2 2 2 0 3 16 6 -3/5 1/5 0 -2/5 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 3 4 0 2 2 0 0 0 0 3 2 3 4 3 -1/5 1/5 4/5 -1/5 0 0 1 0 -1 0 -2 1/2 0 1 0 0 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 3 2 2.改进单纯形法 求解 的简单方法: 假设某次迭代确定换入变量为 ,系数列向量 换出变量为 (1) 换入变量 换出变量 (2) 换入变量 已知 换出变量 (3) 换入变量 已知 换出变量 (4) 3.对偶问题的提出 对偶:同一事物(问题)从不同的角度(立场)观察,有两种相对的表述。 原材料A 原材料B 原材料C 假设企业不打算利用资源生产甲、乙两种产品,而是将这些资源出租或者出售。那么如何给每种资源定价? 3.对偶问题的提出 原材料A 原材料B 原材料C 单纯形乘子 (1)当 时,线性规划问题已求得最优解;如果非基变量中含有松弛变量或者剩余变量,则有: 即 (2)对应基变量的检验数可以写成 ,则包括基变量在内的所有检验数可用 表示,故: 即 4.线性规划的对偶理论 原问题与对偶问题的关系 【例】 令 令 原问题(或对偶问题) 对偶问题(或原问题) 目标函数 目标函数 变量 约束条件 约束条件 变量 约束条件右端项 约束条件
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